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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

垂心はオイラー線上にある(1984 Balkan)

数学/数オリ

『三角形と円の幾何学』の第6章「三角形の垂心とオイラー線」を読みました。

三角形と円の幾何学―数学オリンピック幾何問題完全攻略

三角形と円の幾何学―数学オリンピック幾何問題完全攻略

本の内容

基本事項パートは

からなっています。途中,「あまり役に立たない」が2回出てきます。「垂心は,座標やベクトルを用いて扱うと簡単な場合も多い」とも。

問題パートは5問。解いた感じでは,オイラー線が一番使い勝手がよく,

も役立ちました。

問題例

本に載っていた中でいちばん易しい問題を紹介します。1984 Balkan の問題2です。

原題 A1A2A3A4 は円に内接する四角形で,点 H1, H2, H3, H4 はそれぞれ三角形 A2A3A4, A3A4A1, A4A1A2, A1A2A3 の垂心とする。このとき四角形 A1A2A3A4 と H1H2H3H4 は相似であることを証明せよ。

「垂心」が「重心」だったら楽勝です。

類題 A1A2A3A4 は円に内接する四角形で,点 G1, G2, G3, G4 はそれぞれ三角形 A2A3A4, A3A4A1, A4A1A2, A1A2A3 の重心とする。このとき四角形 A1A2A3A4 と G1G2G3G4 は相似であることを証明せよ。

類題から先に片付けます。
円の中心Oを始点とするベクトルを使います。各重心は

のように定義され,
などが成り立ちます。よって四角形 G1G2G3G4 と四角形 A1A2A3A4 は相似です。類題の証明終わり。

原題に戻りましょう。垂心はオイラー線上,重心のむこうにあります。

よって四角形 H1H2H3H4 も四角形 A1A2A3A4 と相似。証明終わり。

オイラー線を通じて重心と垂心を結びつけられるのがポイントです。「円に内接する」は4つの三角形すべての外心を一致させるための条件ですね。