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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

破産の確率・平面版(2000慶應総合政策)

数学/大学入試

慶應の過去問を見てたら,破産の確率の平面版みたいな問題をみつけました。

格子状に16個の正方形の小部屋があり,その中に一匹のねずみを入れ,その行動を観察する。

小部屋は図のように番号がつけられ,各小部屋からは隣の小部屋に通路があり,番号 4, 13, 16 以外の小部屋の間では自由に行き来できる。番号 4, 13, 16 の小部屋に一度はいったら決して出ることはできないものとする。

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いま,ねずみは通路の選択を同程度に行うと仮定する。たとえば,番号 5 から番号 6 への通路を選択する確率は 1/3 である。番号 4, 13 の小部屋には餌が置いてあり,ねずみはここに到達すれば餌にありつくことができる。ねずみを番号 n の小部屋に入れた場合,ねずみが餌にありつける確率 P_n を求めたい。


以下略。要するに「P1 を求めよ」「番号16の小部屋も自由に行き来できる場合の P1 を求めよ」です。

破産の確率

まず破産の確率について復習。これはランダムウォークの一種です。

コインを投げて表ならAがBから1ドル受けとり,裏ならBがAから1ドル受けとるゲームをおこなう。はじめAがaドル,Bがbドルもっていたとして,Aが破産する確率を求めよ。

wikipediaには独立した項目がありませんが,入試では有名問題です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/ランダム・ウォーク理論

1回のゲームでAが勝つ確率をαとして,


を解くのが定石です。P(n) はAが得点nの状態から破産にいたる確率をあらわします。ゲームに勝てば n+1 点になり,負ければ n-1 点になるので,こういう漸化式になります。

「ある状態からはじめて最終的に破産にいたる確率」という極限を相手にするため漸化式の立て方が独特で,初見では普通解けません。

慶應の問題を解く

原題では律儀に漸化式を立てさせていますが,対称性を利用すると楽です。各部屋から出発してエサにありつける確率を図のようにおきます。

f:id:variee:20140104111923p:plain

部屋1からエサにたどりつける確率は,部屋2に移動した後エサにたどりつける確率に等しいので


他の確率も同様です。


この連立方程式からすべての確率が求められます。答えは 104/129。

部屋16も自由に行き来できる場合は,絶対に破産しません。いつかはエサにありつけるので確率は1です。この設問は洒落がきいていて面白いと思います。漸化式を立てた人はお疲れ様。

確率論へようこそ (シュプリンガー数学リーディングス)

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