問題
慶應の過去問を見てたら，破産の確率の平面版みたいな問題をみつけました。
格子状に16個の正方形の小部屋があり，その中に一匹のねずみを入れ，その行動を観察する。
小部屋は図のように番号がつけられ，各小部屋からは隣の小部屋に通路があり，番号 4, 13, 16 以外の小部屋の間では自由に行き来できる。番号 4, 13, 16 の小部屋に一度はいったら決して出ることはできないものとする。
いま，ねずみは通路の選択を同程度に行うと仮定する。たとえば，番号 5 から番号 6 への通路を選択する確率は 1/3 である。番号 4, 13 の小部屋には餌が置いてあり，ねずみはここに到達すれば餌にありつくことができる。ねずみを番号
の小部屋に入れた場合，ねずみが餌にありつける確率
を求めたい。
以下略。要するに「
を求めよ」「番号16の小部屋も自由に行き来できる場合の P1 を求めよ」です。
破産の確率
まず破産の確率について復習。これはランダムウォークの一種です。
コインを投げて表なら A が B から 1 ドル受けとり，裏なら B が A から 1 ドル受けとるゲームをおこなう。はじめ A が
ドル，B が
ドルもっていたとして A が破産する確率を求めよ。
wikipedia には独立した項目がありませんが，入試では有名問題です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/ランダム・ウォーク理論
1 回のゲームで A が勝つ確率を として
を解くのが定石です。 は A が得点
の状態から破産にいたる確率をあらわします。ゲームに勝てば
点になり，負ければ
点になるので，こういう漸化式になります。
「ある状態からはじめて最終的に破産にいたる確率」という極限を相手にするため，漸化式の立て方が独特で初見では普通解けません。
慶應の問題を解く
原題では漸化式を立てさせていますが，対称性を利用すると楽です。各部屋から出発してエサにありつける確率を図のようにおきます。
部屋 1 からエサにたどりつける確率は部屋 2 に移動した後エサにたどりつける確率に等しいので
他の確率も同様です。
この連立方程式からすべての確率が求められます。答えは 。
