授業で 2012 年の JMO 予選の問題を扱いました。
2 x 100 のマス目があり，各マスを赤または青で塗りつぶす。以下の２つの条件をともにみたすような塗り方は何通りあるか。ただし，回転や裏返しにより重なりあう塗り方も異なるものとして数える。
- 赤く塗られたマスも青く塗られたマスもそれぞれ1つ以上存在する。
- 赤く塗られたマス全体は 1 つに繋がっており，青く塗られたマス全体も 1 つに繋がっている。ここで，異なる 2 つのマスは辺を共有するときに繋がっていると考える。
最初に考えたのは「左上が青の場合を数えて 2 倍すればいい」です。書き出してみると 5 パターンありました。
生徒も「数えた」と言ってましたが，まあ普通は数えますよね。
答えは 39800 = 200 x 199 です。答えを見てから気づいたのですが，多角形（≒ 円上の点）と対応づけられます。例えば赤 1 枚のとき配置は 200 通りあり，これは赤の枚数によりません。
赤の枚数が 1 枚から 199 枚までの 199 通り。その配置が各 200 通りあるので，計 200 x 199 = 39800 通りです。
