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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

解せるパズル本

数学/その他

最近買ったパズル本『とっておきの数学パズル本』がいい感じだったので御紹介。

とっておきの数学パズル

とっておきの数学パズル

  • 作者: ピーターウィンクラー,坂井公,岩沢宏和,小副川健
  • 出版社/メーカー: 日本評論社
  • 発売日: 2011/07/08
  • メディア: 単行本
  • 購入: 2人 クリック: 81回
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パズル本を称するクイズ本と違って,ちゃんと理詰めで解けます。難易度も適度な感じ。

たとえば第4問はこういう問題です。

このところガソリン不足が続いている。あるところに周遊路があって,その途中,ところどころガソリンスタンドがあるのはよいのだが,全スタンドのありったけのガソリンを集めても,ちょうどその周遊路一周の距離を走る分の量しかない。だが,このような状況でも,あるスタンドをうまく選ぶと,燃料タンクが空っぽの状態からそのスタンドでガソリンを入れて出発し,その後各スタンドでガソリンを補充しながら走っていって,ちゃんと一周のドライブを行うことが必ずできるのである。そのことを証明せよ。

私はこうやって解きました。

ガソリンスタンドが n 軒あるとする。k 軒目のスタンドには x_k [L] のガソリンがあり,次のスタンドまで y_k [km] あるとする。簡単のため,1 [L] で 1 [km] 走れるとします。

1軒目のスタンドから2軒目のスタンドに行ける条件は x1 - y1 >= 0。

さらに (x2 - y2) + (x1 - y1) >= 0 なら3軒目のスタンドにも行き着けます。

x_k - y_k = z_k とおいて改めて定式化するとこうなります。

すべてが 0 でない n 個の実数 z1, z2, …, zn があり,



をみたしている。このとき


をみたす k が存在することを示せ。ただし,


とする。

n = 2, 3 あたりで感じをつかめば一般の場合も証明できます。

巻末の参考文献とあわせて読むとかなり楽しめそうな本です。