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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

東大の整数問題を虫食い算で

最近の授業で東大の問題を扱ったのですが,虫食い算に直すと小学生レベルの問題になることに気付いてしまいました。2005 年の文系の問題です。

3 以上 9999 以下の奇数 a で,a^2 - a が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ。

途中式の桁数を与えてしまうと,虫食い算に直せます。

次の式をみたす奇数 ABC を求めなさい。ただし,A〜C の間で同じ数字を使ってもよいこととします。

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簡単に解き方を解説しましょう。C x C の下一桁が C であることから C の候補は 1, 5, 6。C は奇数なので 6 は不適。ABC x C が 4 桁の数であることから 1 も不適で,C = 5 が分かります。

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図の枠内の計算では,「繰り上がりの 2」「B x 5 の一の位」「5 x B の一の位」の和の一の位が B になります。B x 5 が 2 つあるのは B x 10 と同じで,これの一の位は 0 ですから,B = 2 と決まります。

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もう一度同じことをやると A = 6 もわかってオシマイ。

「3 桁の奇数」を「4 桁の偶数」に変えるともう少し難しくなります。暇と興味のある人は考えてみてください。私は生徒に解かせてみようと思います。