数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

IMC の問題を見てみた

数学オリンピック財団のHPでIMC (International Mathematics Competition)という大会があるのを知りました。
JJMO予選通過者が代表が選ばれるみたいですね。公式HPはここ。
2012IMC

1999 Team 第1問(1)

1999年におこなわれた第1回大会のチーム部門第1問(1)はこういう問題でした。

Decompose 9^8+7^6+5^4+3^2+1 into prime factors.

答えは


です。3, 5, 13 はまだしも 41 と 5399 は厳しい。こちらの HP(割り切り判定法)によると 41 で割り切れるかどうか判定する方法は少なくとも2つあるようですが,こんなの覚えていられません。

ということは,こうやって解くんでしょうか?

  1. 与えられた数を具体的に計算
  2. 手計算で 13 と 41 を発見
  3. 5399 が素数であることを確認

チームで取り組めるとはいえ,かなり大変なはずです。こういう計算は大人には無理。私は即 maxima を使いました。

1999 Team 第1問(2)

同じ問題の(2)も素因数分解の問題でした。

Find two distinct prime factors of 2^(30) + 3^(20).

こっちは簡単で,2^(30) + 3^(20) = (2^6)^5 + (3^4)^5 と変形して 5 乗の因数分解公式を使います。



から,答えは 5 と 29。ちなみに全体を因数分解すると


公式解答は「13,61」となっていますが,これは間違いです。