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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

懐かしい問題

中学生の指導で2001 年の灘高の問題を扱いました。『High スタンダード演習』の 8.13 に収録されている問題です。

△ABC の辺 BC 上に BC : LC = 3 : 1 となる点 L,辺 CA 上に CM : MA = 3 : 1 となる点 M,辺 AB 上に AN : NB = 3 : 1 となる点 N をとる。

線分 BM と線分 CN の交点を P,線分 CN と線分 AL の交点を Q,線分 AL と線分 BM の交点を R とする。このとき,△PQR の面積は △ABC の面積の何倍であるかを求めなさい。

第一印象は「なつかしい」。今日はこの問題について書きたいと思います。

なつかしい理由その1・自分も昔やった

私が中 3 の頃に使った東京出版の問題集には,巻末に学校別索引がついていました。青森の公立中学に通っていた私は暇にあかせて,今日は○○高校,明日は☓☓高校と 1 校ごとにつぶしていったものです。灘の問題もやりました。田舎の中学生には最新の問題はなかなか解けませんでしたが,年度をどんどんさかのぼっていくと解ける問題もあって嬉しかったのをおぼえています。

生徒にも同じ経験をして欲しいと思い,この問題は宿題として家でじっくり考えてきてもらい,解説しました。

ちなみに私が灘を知ったきっかけは漫画です。聖日出男『試験あらし』冒頭に「西の灘高,東の大竜」というフレーズがでてきて,「これなんて読むんだろう?」って思いました。小 4 ぐらいかな? このころは架空の学校だと思ってましたね。

その後,遠藤周作のエッセイを読むようになって,本当にそういう学校があることを知りました。これが小 6 ぐらい。

試験あらし(1) (少年サンデーコミックス)

試験あらし(1) (少年サンデーコミックス)

なつかしい理由その2・これは東大の焼き直し

灘の問題は 1980 年の東大の入試問題の改題です。

1 辺の長さが 1 の正 3 角形 ABC の辺 BC,CA,AB 上に,それぞれ点 P,Q,R を BP = CQ = AR < 1/2 となるようにとり,線分 AP と線分 CR の交点を A',線分 BQ と線分 AP の交点を B',線分 CR と線分 BQ の交点を C' とする。BP = x として,次の問に答えよ。

(1) BB',PB' を x を用いて表せ。

(2) 3 角形 A'B'C' の面積が 3 角形 ABC の面積の 1/2 になるような x の値を求めよ。


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灘は内分比を一定にするかわりに正三角形を一般の三角形に変えたわけです。東大版は対称性から △ABC と △A'B'C' が相似であることは明らかで,相似比の計算も楽勝です。幾何/三角関数/座標計算のどれでも解けますが,灘版はそうはいきません。中学数学の範囲内で処理しなければならないことも考えると,こっちの方が難しいかもしれません。

ちなみに,駿台は正三角形を正 6 角形に変えた類題を出しています。私が高 3 の頃の第 1 回東大実戦の問題で,『数学の図形問題演習』 (駿台受験叢書)に収録されています。

一辺の長さが1の正六角形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 において,辺 An A_{n+1} 上に点 Bn を An Bn = t (0 < t < 1) となるようにとる(n = 1, 2, …, 6)。ただし,A7 = A1 とする。

6 本の線分 A1 B2, A2 B_3, A3 B4, A4 B5, A5 B6, A6 B1 で囲まれた正六角形の面積 S' が元の正六角形の面積 S の半分になるように t の値を定めよ。


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これは東大の問題と同レベル。解法も同じです。

いまならどう解くか

灘の問題に戻ります。これは中学数学的にはメネラウスの定理を使う問題ではないでしょうか?


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頂点→交点→頂点→……で BP : PM などがわかるので,題意の小三角形のまわりの余計な三角形の面積は簡単に求められます。メネラウスマスターでなくてもこれくらいならできるでしょう。

そして,この問題は算数っぽく解くことも可能です。小三角形のまわりの余計な三角形の面積を除けばいいことは小学生的にも明らか。△PBC に注目すると,底辺 BC は △ABC と共通です。ということは高さの比がわかれば面積比もわかります。

小学生相手なら「NP や PC を含む三角形で相似なものを探せ」「相似を 2 組見つければ解けるゾ」と言うところですが,この問題にはそんな都合のいいものはありません。補助線を引いて自分で相似を作らないといけません。


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まず赤い補助線を引きます。この図と 3 : 1 の条件だけでは NP : PC は求められませんが,N を通って BM に平行な青い補助線を引くと AN'' : N''M = AN : NB = 3 : 1 と AM : MC = 1 : 3 から AN'' : N''M : MC = 3 : 1 : 12 がわかります。ということは NP : PC = N''M : MC = 1 : 12 です。△PBC の面積は △NBC の 12/13 倍ということがわかりました。

生徒の反応は案の定「小学生すげー」でした。