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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

有理化は展開で処理できるらしい(数と式)

数学/大学入試

有理化について書きます。元ネタは 2007 年の東京女子医大です。

問題1
(1) (a + b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) を展開せよ。
(2) 次が成り立つような整数 x, y, z の値を求めよ。



(ヒント:(1)の計算結果を使う。)

(1)は展開するだけ。(2)は代入するだけ。

この有理化の方法って面白いと思いませんか? 仮に問題が次の形だったら,どんな数をかければいいのか悩む人が多いと思います。

分母を有理化せよ。



掛け算するたびに項が増えて,収拾がつかなくなってしまうんじゃないでしょうか? そこを機械的に処理できるのが面白いと思います。

計算してみれば分かりますが,(1)の答えは 2 乗,4 乗の項しか含みません(a^2 b c 型の項は -a^2 b c と相殺して消えます)。よって,うまくルートがはずれて有理化が展開で処理できるわけです。

以上で過去問の解説は終わり。次は無理数が 4 つの場合を考えます。

問題2 分母を有理化せよ。



まずは女子医(1)と同じような式を作ります。

4 変数 a, b, c, d の符号の決め方は 2^4 = 16 通り。a + b + c + d と - a - b - c - d のような重複を除くと,8 個の式を掛け合わせればいいことがわかります。



とおくと,


よって,答えは


を展開したものとなります。最終的な答えはかなり汚いので省略させていただきます。