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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

3乗根の2重根号をはずす(数と式)

数学/大学入試

問題 次の式をみたす正の有理数 a, b を求めよ。



ヒント:


3 乗根の 2 重根号をはずす問題について書きます。出典は 2004 年の東京女子医大。ヒントつきとはいえ難しいです。簡単のため



とおいて,左辺の3乗根を P とおきます。



を使って,


のルートをはずすのが目標です。

根号内を整理する

普通に解くなら P の中身を整理することになると思います。
x は 2 の 3 乗根なので,



をみたします。これを使うと,


から


x を分子にもってくるため,x が 2 の 3 乗根であることをもう一度使います。




あとは P - 1 = x^2 - x を x を使わずに書いてオシマイ。


答えを予想する・その1

上の議論から P = x^2 - x + 1 がわかるので,



を示しても立方根をはずすことができます。この式を見抜くのは難しいとは思いますが,

  • x = sqrt[3]{2}, x^2 = sqrt[3]{4} しか出てこないであろうこと
  • +, -の入り方

を考えると,



はなんとか予想できる範囲内なのではないでしょうか?

では証明です。両辺に (x+1)^3 (≠ 0) をかけて変形していくと楽です。



この変形は逆にたどることができるので,証明完了です。受験数学ではお馴染みの「結論からお出迎え」しました。

答えを予想する・その2

x = sqrt[3]{2}, x^2 = sqrt[3]{4} しか出てこないだろうと予想し,



をみたす K, L を探します。これはまともに展開するしかないと思います。x^3 = 2 を使って整理すると,


係数を比較すると,K = 1, L = -1がわかります。

なお,wolfram alpha によると x^2 の係数を0にするような整数 K, L の組は



だけだそうです。

f:id:variee:20121111074430p:plain
ついでに x の係数を 0 にするような整数 K, L の組も調べてみたら,K = L = 0だけでした。

f:id:variee:20121111074448p:plain
この問題は sqrt[3]{4}, sqrt[3]{2}の片方しか出てこないところが面白いと思うのですが,係数をいじって類題を作るのは無理みたいですね。