数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

コーシー・シュワルツへの持ち込み方(不等式)

2003 China Mathematical Competition から不等式の問題を紹介します。

問題 3/2 ≦ x ≦ 5 とする。次の不等式を証明せよ。



模範解答はコーシー・シュワルツの不等式です。



2√(x+1) を分割するところがうまい。係数が 2 のままではうまくいきません。この問題の難しいところは

  1. コーシー・シュワルツを見抜くこと
  2. うまく分割すること

です。特に2. が難しい。2√(x+1) は 3 通りに解釈できます。



それぞれ最大値は √78, √93, 2√19 =√76。一番厳しく評価できる方法をとらないと証明できません。なんともテクニカルな問題でした。

おまけ:最大値の計算

最大値を求めてみましょう。まともに微分するのは大変なので,
Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine
の助けをかります。「関数 max」と代入するだけで,ここまでやってくれます。


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2√19 = 8.717… なので,この問題の不等式はかなりいい評価になっています。