数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

広中の一筆書き ≒ 京大の一筆書き(場合の数)

広中杯の過去問で一筆書きの問題をみつけました。

問題1 次の図形を,A,B,C,D,E,F のいずれかの点から始めて一筆書きする方法は何通りあるか。


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A,D を始点とする方法を数えて3倍すればいいことは明らかですが,数え上げは結構面倒です。こういう「全部書く」系は大人よりも子供,もっとはっきり言えば小学生の方が向いていると思います。

何度も間違えて「答えあわないー」とやっているうちに気づいたのですが,京大の過去問に類題があります。2008年の文系第5問。「理系よりも文系の方が難しい」と言われた年の最難問です。

問題2 正 n 角形とその外接円を合わせた図形を F とする。F 上の点 P に対して,始点と終点がともに P であるような,図形 F の一筆がきの経路の数を N(P) で表す。正 n 角形の頂点をひとつとって A とし,a = N(A) とおく。また正 n 角形の辺をひとつとってその中点を B とし,b = N(B) とおく。このとき,a と b を求めよ。
注:一筆がきとは,図形を,かき始めから終わりまで,筆を紙からはなさず,また同じ線上を通らずにかくことである。

広中の三角形は三角形&その外接円と位相同型です。


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ということは,京大の問題と同じようにして解けるはずです。

  • 途中で後戻りすることなく一周してもう一周する方法
  • 途中で後戻りする方法

にわけて数えると,すんなり解けます。

授業で京大の問題を扱った後に,「中学生用の問題だけど……」とプレッシャーをかけつつ広中の問題を解かせてみようかと思います。