読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

2直線が交わる → 同一平面上 → 四面体の体積0(ベクトル)

数学/大学入試

2006年の京大理系前期の問題。

問題 点 O を原点とする座標空間の3点を
A(0, 1, 2), B(2, 3, 0), P(5 + t, 9 + 2t, 5 + 3t)
とする。線分 OP と線分 AB が交点を持つような実数 t が存在することを示せ。またそのとき,交点の座標を求めよ。

普通に解く分には空間ベクトルであることを意識する必要はありません。平面の場合と同様,交点の位置ベクトルを2通りに表して,
 (1-u)\vec{OA}+u\vec{OB}=v\vec{OP}
をみたす0以上1以下の u, v(とそれに対応する t)が存在することを示せば終わりです。成分について書き下せば普通の連立方程式になります。
私もそうやりましたが,「大学の先生なら外積を使うんじゃないか?」と思ったので確かめてみました。

O, A, B, P が同一平面上にあるとすると,OA, OB, OP を3辺とする平行6面体の体積は0なので, \vec{OP} \cdot (\vec{OA}\times \vec{OB})=0 が必要。ここから
 t=-1,\, \vec{OP}=(3,\ 5,\ 2)]
がわかります。あとは十分性(u, v の存在と範囲)を確かめて終わり。高校のときの先生がこのやり方好きだったな……

[asin:4792211344:detail