数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

東工大の整数問題の類題

誘導をカットしたら面白そうだなあ~と思った問題の類題をその日のうちに見つけました。もとになった問題は1984年の東工大。整数問題です。

問題1 a, b を正の整数とする。

(1)  c = a + b,\, d = a^2 - ab + b^2 とおくとき,不等式  1 < \dfrac{c^2}{d} \leqq 4 が成り立つことを示せ。

(2)  a^3 + b^3 が素数の整数乗になる a, b をすべて求めよ。

これの誘導なしバージョンが2000年にハンガリーで出題されています。

問題2 Find all positive primes p for which there exist positive integers n, x, y such that  p^n = x^3 + y^3 .

こちらは背理法(無限降下法?)です。p > 3 は不適であることを示します。

p (>3) の指数の最小値を考え,それを k とおきます。
 x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

p は素数だから x + y, x^2 - xy + y^2 とも p の整数乗。

 3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2) は p の整数乗なので,x, y の少なくとも一方は p の倍数。x + y も p の倍数なので x, y はともに p の倍数。

 x=pX,\ y=pY\quad (X,\ Y \in \mathbb{N}) とおくことができて,

  p^{k-3}=X^3+Y^3

これは k の最小性と矛盾。基本対称式への書き直しと証明が直結しているのが面白いと思います。