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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

連続積 ≠ 平方数(整数問題)

無限降下法について調べていたら,「連続する整数の積は平方数になりうるか」という問題に行き着きました。長く楽しめそうなネタをたくさん拾えて面白かったです。

最初に読んだのはここ。

無限降下法

最後に出てくる

任意の自然数 m, n に対して 2m^2 + 3n^2 は平方数にはなり得ないことを示せ。

の解答リンクをクリックすると
完全平方数
へ飛びます。

  • 連続 2 自然数の積は平方数ではない
  • 連続 4 自然数の積は平方数ではない
  • n > 1 のとき,n! は平方数ではない
  • 連続 5 自然数の積は平方数ではない
  • 連続 6 自然数の積は平方数ではない

高校数学を専門とする私にはこれだけで十分なのですが,今日の記事の本題はより一般的なこの命題です。

連続する k (>1) 個の自然数の積は平方数ではない

k ≦ 202 の場合は成実清松が1917年に証明し,それ以外については1939年にエルデシュが証明したそうです。これだけ古いのに,原論文が簡単に手に入ってしまうのがすごい。

成実清松の論文はここ。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/11/0/11_0_128/_pdf

Tohoku Mathematical Journal, First Series (1911-1943)のアーカイブもあります。
https://www.jstage.jst.go.jp/browse/tmj1911

エルデシュの論文はここ。
http://www.renyi.hu/~p_erdos/1939-03.pdf

こちらもアーカイブあり。
http://www.renyi.hu/~p_erdos/Erdos.html

yahoo 知恵袋でも取り上げられています。日本語で読めて,流れがエルデシュの論文に忠実なので助かりました。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1046980935