数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

『大学受験勉強法 受かるのはどっち?』

笠見未央さん(猫ギター先生)の『大学受験勉強法 受かるのはどっち?』(角川)を読みました。大学受験勉強法 受かるのはどっち?作者: 笠見未央出版社/メーカー: KADOKAWA発売日: 2016/03/18メディア: 単行本この商品を含むブログを見る大学受験勉強法 受か…

中点は格子点ではない(算数チャレンジ 989)

図のように正方形の土地の周囲および内部にア~ケの9本の杭(くい)を等間隔に打っています。この中から3本の杭を次の条件をみたすように選びます。 杭どうしをひもで結ぶと三角形ができる。 できた三角形について,どの辺の中点にも杭がない。 たとえば「ア…

分数関数の値域(2013 インド統計大学)

x ≧ 0 を定義域とする関数 の値域を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。「分母を調べれば終わりでは?」と思ったら本当にそうでしたw 分母を g(x)とおくと g(x+2π) = g(x) + 2π なので,「0 ≦ x 解いてみた026.pdf - Google ドライブ

分数型漸化式の極限(2016 インド統計大学)

実数からなる数列 {a_n} は をみたしている。 (1) 0 であることを証明せよ。 (2) a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり, であることを証明せよ。} 2016年のインド統計大学の入試問題です。出題者は「増加列かつ上に有界だから収束」で解いてほしいようですが…

条件を角のみ,長さのみにする(2015 インド統計大学)

△ABC において AB = c, BC = a, CA = b とおく。が成立するとき△ABC は二等辺三角形であることを証明せよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。普通の形状決定問題です。条件を角で書き直しても長さで書き直しても解けます。正直易しすぎですが,たまに…

2016乗の積分(2016 インド統計大学)

f(x) は微分可能な関数であり,0 ≦ x ≦ 1 をみたすすべてのxに対して が成り立つ。 また,f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。なぜかAoPSにあったので解きました。難易度的にはインド工科大学16校の下に位置す…

分子の絶対値は分母の絶対値以上(2015 インド トレーニングキャンプ)

と がともに整数となる正の整数a, bの組をすべて求めよ。 2015年のインドのトレーニングキャンプ(合宿?)の問題です。「0でない整数の絶対値は1以上」という当たり前の性質を使うだけでa, bの候補をしぼりこめます。分子が分母で割りきれるには,分子の絶…

正確な図を描くと解ける(2015 マレーシア ジュニア)

ABCDは凸な四角形である。∠B, ∠C の二等分線の交点をEとおき,半直線BA, CDの交点をFとおく。 AB + CD = BC が成り立つとき,点A, D, E, Fは同一円周上にあることを証明せよ。 2015年のマレーシアのジュニアの問題です。図なしでは考えにくいと思ったので,…

添削は添えると削る

今日の記事のタイトルは学生時代に予備校の先生に言われた言葉です。通信添削のアルバイトの採用試験でのことでした。課題として渡された答案は典型的な相加相乗の誤答(等号成立条件をみたさない)でした。「これならわかるわ!」と,どこがどう間違ってい…

角も辺も1:2(算数チャレンジ 988)

図のような辺ADと辺BCが平行で ∠ B = 90° の台形ABCDがあります。また,この台形は辺ADの長さが辺ABの長さの2倍になっています。いま,対角線ACをひいたところ,∠ ACDの 大きさが ∠ ACB の大きさの2倍になりました。このとき,∠ ADC の大きさは何度であるか…

VUQARさん(?)の整数問題(2015 アゼルバイジャン JBMO TST)

V, U, Q, A, Rは {1, 2, 3, 4, 5} から選んだ相異なる数である。次の方程式をみたす組をすべて求めよ。 2015年のアゼルバイジャンのジュニアバルカンTSTの問題です。VUQAR はアゼルバイジャンの人名みたいです。見た目は複雑そうな嫌な式ですが,素…

係数が適当っぽい不等式(2015 マレーシア ジュニア)

a, b, cは3以上の実数である。次の不等式が成立することを示し,等号成立条件を求めよ。 2015年のマレーシアのジュニア数オリの問題です。日本の中学数学では不等式の証明をほとんどあつかいませんが,マレーシアではどうなのでしょうか? この問題はすごく…

不等式を相加相乗一発で(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c は正の実数である。次の不等式を証明せよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。相加相乗だけで解けます。最初は「結論からお出迎え」しつつ解いて,次に一発で解く方法を考えました。こういうコンテストの問題としては試行錯誤も少なめ。中学生…

積の和の最小値(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c, d, e, f, g, h, kは1以上9以下の相異なる整数である。 の最小値を求めよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。積の和ということで,最初は並べ替え不等式の利用を考えましたが,「3つの数の積の場合はどうすればいいんだ?」で相加相乗へ。下…

級数の評価(2009 モルドバ TST)

次のように数列 {a_n} を定める。任意の自然数nに対して a_n 2009年のモルドバのTSTの問題です。いろいろ試してみましたが,「指数関数による評価」や「一般項を予想して数学的帰納法」で解くのは難しそうです。東大の過去問に類題があり,それを解いたとき…

特定の場合を考えて◯倍(2015 東京学芸大学附属高校)

1, 2, 3の数字が1つずつ書かれた3枚のカード1, 2, 3の組をA, B, Cの3人がそれぞれ1組ずつ持っている。3人が同時にカードを1枚出すとき,出されたカードのうちの2枚だけが同じ数字の書かれたカードである確率を求めなさい。 ただし,3人がどのカードを出すこ…

下3桁を求める(算数チャレンジ 987)

100以下の奇数すべてをかけ算してできる数について,下3ケタを求めてください。 算数チャレンジ(http://www.sansu.org)の第987回を解きました。下3桁を求めるには 1000 = 2^3 x 5^3 を法として考えればよく,125と8で割った余りを調べれば解けます。 125 =…

参考書代をケチってはいけない

数日前のツイートの補足。最近「防衛医大 過去問」でうちのブログに来る人が多いんだが,「受けるなら赤本買えよ」としか言えない。— variée@吉祥寺塾長 (@variee_kjj) 2016年9月9日塾講師やってた頃にもこういう子はたまにいて,「過去問コピーしてください…

(積) = (素数) の形になおす(2008 モルドバ TST)

pを素数とする。x^3 + y^3 - 3xy = p-1 をみたす0以上の整数 x, y の組をすべて求めよ。 2008年のモルドバのTSTの問題です。p = x^3 + y^3 + 1 - 3xy は因数分解できて,(積) = (素数) の形になります。本解以外のネタを思いつかなかったので,オマケとしてP…

一旦yとy^2について解いて文字消去(2008 モルドバ TST)

次の連立方程式の実数解をすべて求めよ。x^3 + 3xy^2 = 49, x^2 + 8xy + y^2 = 8y + 17x 2008年のモルドバのTSTの問題です。ぱっと見では第一手がわからないところに惹かれました。与式をyとy^2について解くと,y^2 = (y)^2 という当たり前の式を使ってxだけ…

どの桁の数字も平方数(2016 CentroAmerican)

4桁の整数nはどの桁の数字も平方数であり,かつ2, 3, 5, 7で割りきれる。 このようなnをすべて求めよ。 2016年のCentroAmericanの問題です。4桁なのでしらみつぶしで楽々処理できます。小学生でも解けそう,というよりむしろ小学生の方が速く解けそう。 7の…

比の和の最大値(2013 イスラエル stage 1)

実数 a, b, c, d は a/b + b/c + c/d + d/a = 6 をみたす。a/c + b/d + c/a + d/b の最大値を求めよ。 2013年のイスラエルの問題を解きました。stage 1ということは予選なのでしょうか?置き換えできれいな形になるのは見え見えで,ぱっと見には簡単そうだっ…

連立方程式 → 基本対称式, 交代式(2015 トルコ EGMO TST)

aは実数である。次の方程式をみたす実数の組(x, y)をすべて求めよ。 y^2 = x^3 + (a-1)x^2 + a^2x, x^2 = y^3 + (a-1)y^2 + a^2y 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。与えられた式は f(x) = g(y), f(y) = g(x) 型の連立方程式です。「辺々足して基本対…

(角の和)=直角 → 円(2015 トルコ EGMO TST)

△ABCの辺BCの中点をDとおく。 点Pは△ABDの内部にあり,∠PAD = 90° - ∠PBD = ∠CADをみたしている。 PCとADの交点をQとするとき,∠PQB = ∠BAC であることを証明せよ。 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。角の条件がわかりにくく,文章だけではピンと来…

平行四辺形条件から三角形の面積(算数チャレンジ 986)

算数にチャレンジ!!の第986回の問題を解きました。 図のような AE = CD の五角形ABCDE があり,対角線ACをひいたところ AC = ED となりました。また,面積について △ABP + △ECP = △PBC - △PAE が成り立っています。△PBC の面積が 12 cm^2 であるとき,△EBD…

「正十二面体はすべての面が正三角形」の真偽(2007 慶應義塾高校)

正しければ◯を,正しくなければ×を書きなさい。「正十二面体は,すべての面が正三角形である。」 2007年の慶應義塾高校の第1問(小問集合)の一部です。 訓練された中3生なら「正十二面体の各面は正五角形に決まってる。×だ!」と即答しそうですが,大学受験…

a^n + b^n + c^n の倍数判定(2016 カナダ予選)

2016年のカナダのMathematical Olympiad Qualification(予選?)の問題を解きました。 (1) 3^n + 4^n が11の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。(2) 4^n + 7^n + 20^n が31の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。 Fermatの小定理より(1)(2)の…

3次式, 4次式をみたす整数(2015 トルコ EGMO TST)

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。 m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。 mod 計算と思いきや,(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤し…

xy+yz+zx=1と不等式(1994 香港TST)

久しぶりに数学の記事を書きます。1994年の香港のIMO代表選抜試験(Team Selection Test = TST)の2日目第1問を解きました。 x, y, zは正の実数であり,xy+yz+zx=1をみたす。 次の不等式が成立することを証明せよ。 左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。…

『やさしい高校数学』

生徒にすすめられて『やさしい高校数学』(学研)を買いました。初学者向けの易しい本の割に(?)しっかり書かれていてちょっと驚きました。学研から出てるのがミソかな。マイナーな出版社から出ているこの手の本の多くは,文章がやわらかいだけのしょうも…