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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

「正十二面体はすべての面が正三角形」の真偽(2007 慶應義塾高校)

正しければ◯を,正しくなければ×を書きなさい。「正十二面体は,すべての面が正三角形である。」 2007年の慶應義塾高校の第1問(小問集合)の一部です。 訓練された中3生なら「正十二面体の各面は正五角形に決まってる。×だ!」と即答しそうですが,大学受験…

a^n + b^n + c^n の倍数判定(2016 カナダ予選)

2016年のカナダのMathematical Olympiad Qualification(予選?)の問題を解きました。 (1) 3^n + 4^n が11の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。(2) 4^n + 7^n + 20^n が31の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。 Fermatの小定理より(1)(2)の…

3次式, 4次式をみたす整数(2015 トルコ EGMO TST)

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。 m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。 mod 計算と思いきや,(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤し…

xy+yz+zx=1と不等式(1994 香港TST)

久しぶりに数学の記事を書きます。1994年の香港のIMO代表選抜試験(Team Selection Test = TST)の2日目第1問を解きました。 x, y, zは正の実数であり,xy+yz+zx=1をみたす。 次の不等式が成立することを証明せよ。 左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。…

『やさしい高校数学』

生徒にすすめられて『やさしい高校数学』(学研)を買いました。初学者向けの易しい本の割に(?)しっかり書かれていてちょっと驚きました。学研から出てるのがミソかな。マイナーな出版社から出ているこの手の本の多くは,文章がやわらかいだけのしょうも…

白髪とオリーブオイルと薄膜

昭和大学医学部の過去問に変わったのを見つけました。 最近,白髪が目立つようになった父は,洗髪後に無色のオリーブオイルを髪につけている。「これをつけると白髪がぐっと目立たなくなるんだ。なぜだろう。」と私に尋ねた。考えられる理由を150字以内で説明…

中学生は『高校への数学』やるといいよ

えーと,前に「中学数学は早めに終えて,さっさと高校数学に進んだ方がいい」みたいなこと書いた記憶がありますが,前言撤回。中学生は中学生らしく『高校への数学』あたりで高校受験の数学に親しんだ方がよいと思います。入試問題を通じて適度にチャレンジ…

『ピジョンの誘惑』読んでます

『ピジョンの誘惑』という鳩ノ巣原理(部屋割り論法)の問題ばかり70問集めた本を読んでいます。半分くらい読んだところです。ピジョンの誘惑 論理力を鍛える70の扉作者: 根上生也出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 2015/02/24メディア: 単行本(ソフトカ…

東京医科大学の数学

ここ何日かは東京医科大学の過去問の解答を作っていました。約15年分目を通した中で一番難しかったのは1999年の第2問です。 すべての正の数 x に対して不等式が成り立つような整数 n の最大値は( )である。 「log をとって微分→最小値が正」とすると多分解…

『考え抜く数学』

東京出版の『考え抜く数学』を買いました。2005-2014の学力コンテストから選ばれた50問からなる問題集です。時間かかりそうな本ですねw 考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ (大学への数学)作者: 東京出版編集部出版社/メーカー: 東京出版発売日: 2016/03/10メディ…

再受験前のチェックリスト

代ゼミの荻野先生のツイートを読んで「私立文系→国立文系でこうなのか……」と思いました。あくまで思いやりで言うのだが私文の受験生が浪人して国立を目指し新たに数学を始めるのはやめた方がいい。成功した例を私は知らない。今まで通り英国社で少しでも上の…

合格報告受けました

生徒から再受験成功の連絡がありました。多分楽勝だろうと思っていましたが,あらためて合格報告をうけてとても嬉しいです。その生徒の指導はいい感じで進んでいて,やる過去問がなくなるくらいやりました。これは受かるパターンの一つだと思います。私が予…

数学検定について

数学検定を受けたときのこと,指導したときのことを書きます。 受けてみた(約10年前) 準1級 易しい。普通の受験勉強で十分対応できます。私は時間制限ありで問題を解くのはひさしぶりで,楽しかったです。燃えるものを感じましたw 1級 私が学生だった頃は…

ムサビの変な問題

当塾では勉強のアクセントとしてたまにパズルっぽい問題を使っています。小学生から再受験生まで幅広く使えて,しかも必ずウケる問題を紹介します。2001年の武蔵野美術大学の問題です。 次の文章を読んでその内容を整理し,腹痛の原因がどの料理であったかを…

スタディサプリおすすめ

最近,スタディサプリ(旧称:受験サプリ)をよく見ています。これいいですね。studysapuri.jpお勉強系の動画はネットにいくらでもありますが,ほとんどのものは正直見るに耐えない出来です。私は3分と見ていられません。一方,受験サプリは現役の予備校講師…

『体系物理』何度目かの再購入

『体系物理』を買いました。高校時代から数えて何度目かの買い替えです。体系物理[第6版] (体系シリーズ)作者: 下妻清,岡田拓史出版社/メーカー: 教学社発売日: 2012/10/26メディア: 単行本(ソフトカバー)この商品を含むブログを見るこの参考書はとても歴…

防医の過去問40年分買いました

『防衛医科大学校 数学入試問題40年』(聖文新社)を買いました。聖文新社のHPでたまに50年シリーズをチェックしているのですが,この本の収録年数は40年。50年シリーズとは別扱いになるらしく,そこには載っていませんでした。書店でみつけたときは「あれ,…

受験応援に行ってきました

2月1日から3日まで中学入試の応援に行ってきました。受験は「頑張れ」が通じる精神論の世界ではありませんが,講師が入試当日にやれることといったらこれくらいしかないので,まあやりますよね。私は1月末をもって中学受験界から足を洗いましたが,担当して…

2016日本医科大学を解いてみた

今年の日本医科大学の問題を解いてみました。 問題ごとの講評 第1問は普通。易しいわけではありませんが,医学部に行きたいならこれくらいは解けてほしい。第2問は早稲田理工あたりで出題されれば「普通」「計算するだけ」とか言われそうですが,第一手の置…

2016杏林大学を解いてみた

今年の杏林大学の問題を解いてみました。第3問の複素数が私大医学部っぽいです。 (1) 複素数平面上の図形 (a)は直線(垂直二等分線),(b)は円(アポロニウスの円)。 (c)は複素数のまま解くのはちょっと無理なので直交座標に直します。z=x+iy を代入すると…

『偏差値40からの医学部再受験・実戦編』

センターの問題を見ていて古い受験本を思い出したので,再読してみました。『偏差値40からの医学部再受験・実戦編』という本です。この本に載っている数学の勉強法が独特です。 いきなり赤本に取り組む 第1問の単元を問題集で集中的に演習 もう一度,過去問…

集団指導はじめます

新しく集団指導(=一対多の個別指導)クラスをはじめます。一人の生徒さんにずっとついているわけではないので,授業は問題演習がメインです。曜日と時間帯は次のとおりです。1コマ110分授業です。 水曜日の17:00〜18:50 または 19:00〜20:50 土曜日の14:00…

「10日あればいい!」という参考書

前回,超定番の『チャート式』について書いたので,今回は「10日あればいい!」という多分マイナーな本について書こうと思います。大学入試短期集中ゼミ数学1+A 2016―10日あればいい!作者: 福島國光出版社/メーカー: 実教出版発売日: 2015/04メディア: 単行本…

黄チャート/青チャートを使ってみました&使ってます

有名な『チャート式』について書こうと思います。今年度の指導で使いましたが,なかなかよかったです。こんな風に使いました。 基本的に青チャートを使う。苦手な人は黄色 家庭学習では例題の解説を読んで(もちろん解いてもOK),練習問題を解いてくる 塾で…

正確な図を描こう

初等幾何の難問を解くにあたって正確な図を描くことは大事なんだなあと思ったので,記事にまとめたいと思います。 問題例 まず,2000年のインドの問題。 三角形ABC内接円と辺BC, CA, ABの接点をK, L, Mとおく。 Aを通ってLKに平行な直線とMKの交点をPとし, …

具体例が意外な図形に

2015年のカナダの第3問を解いてみました。 On a (4n+2)(4n+2) square grid, a turtle can move between squares sharing a side. The turtle begins in a corner square of the grid and enters each square exactly once, ending in the square where she s…

2015年を振り返る

C型肝炎の治療をはじめた 8月からダクルインザ,スンベプラによる治療を受けています。あと1ヶ月で終了。 途中何度かウイルスの有無を調べたのですが,すべて「検出せず」でした。 三度目の正直で,今度は治りそうです。治療と言っても1日に2回薬を飲むだけ…

買ってよかったもの2015

2015年に買ってよかったものについて書きます。 グリッサー SP-26 バインダーノート用の穴あけ器です。手でバチンバチンやるものも持っていましたが,結構力が必要だし,手が痛くなるので,すぐに使わなくなりました。これは生徒にすすめられて購入。単にす…

『ドラッカーさんに教わったIT技術者が変わる50の習慣』

『ドラッカーさんに教わったIT技術者が変わる50の習慣』を読みました。ドラッカーさんに教わったIT技術者が変わる50の習慣作者: 恒川裕康出版社/メーカー: 秀和システム発売日: 2013/12/26メディア: 単行本この商品を含むブログ (3件) を見るこれは「ITエン…

『チャート式 体系数学1』を買う

数研出版の『チャート式 体系数学』を買いました。チャート式体系数学1 代数編―中高一貫教育をサポートする 中学1,2年生用作者: 岡部恒治,チャート研究所出版社/メーカー: 数研出版発売日: 2015/01/29メディア: 単行本この商品を含むブログを見る数研出版の…

懐かしの参考書『数学ぐんぐん』

近所の古本屋で昔懐かしい参考書をみつけたので購入しました。晶文社の『高校入試 数学ぐんぐん』です。私がはじめて買った数学の参考書は多分これです。数学ぐんぐん (ぐんぐんシリーズ)作者: 晶文社出版出版社/メーカー: 晶文社発売日: 1995/06メディア: …

広中杯の問題で対数を使ってみた

2000年に行われた第1回広中杯トライアル*1の問題を考えてみました。こういう問題です(表現は大幅に変えてあります)。 2^2000 の桁数を a,5^2000の 桁数を b として a+b を求めよ。 (2^2000) x (5^2000) = 10^2000 を使うだろうことは見え見えで,さらに a…

教室を増やしました

隣の部屋があいたので借り足して2教室体制にしました。これまでは待ちスペースがなく,授業開始時/終了時はかなり慌ただしい感じでしたが,今後は緩和されると思います。「早く来て自習」や「残って自習」もできます。「授業のない日に来て自習」もできます…

某中学の出典がAIMEだった

高校生用の問題選びをしていたら,偶然ある中学の入試問題の元ネタを見つけました。1987年のAIME(American Invitational Mathematics Exam)の問題です。 縦19,横87の長方形の中にABと平行な線分PQを引いて面積を4等分したら,長方形の周も4等分された。PQ…

『入試数学基礎演習』(東京出版)

最近よく使っている参考書について書きたいと思います。 東京出版の『入試数学基礎演習』です。入試数学基礎演習 2016年 03 月号 [雑誌]: 大学への数学 増刊出版社/メーカー: 東京出版発売日: 2016/02/29メディア: 雑誌この商品を含むブログを見るこれは月刊…

灘高の過去問買いました

中学生を指導することになり,幾何の手頃な難問が必要になったので灘高の過去問を30年分くらい買ってみました。手に入ったもので一番古いのは1970年のもの。これくらい古いと問題もシンプルで全体的に易しいのですが,三角関数が出題されていたり,2次関数の…

studyplusはじめました

生徒指導の関係で,勉強 SNS の studyplus をはじめました。studyplus.jp参考書を登録して,勉強時間やページ数などを記録するSNSです。ネットでは「学習管理SNS」などと称されていますね。「今週の勉強時間は45分でした」とか「この1週間,勉強記録の入力が…

授業のウオーミングアップにパズル系の問題を

最近は授業のはじめにウオーミングアップと称してパズルっぽい問題をやるようにしています。ここ何日か使った問題はこちら。中学入試の問題ですが,出典は忘れました。 1辺の長さが1の立方体が4つある。これらの面と面とをぴったりくっつけてできる体積が4の…

「こんな補助線,気づくか!」と思った話

初等幾何について書きたいと思います。 四角形 ABCD について, AB:AD=2:3, AC:BC=3:1, ∠ACB = ∠BAD = 60◦ なる条件が成立するとき,∠ACD の大きさを求めよ。 私は三角関数を使って解きました。DからACに下ろした垂線の足をHとして,いろいろ計算するとAH=A…

和算の幾何をどう切り崩す?

駿台の東大模試の過去問集を見ていたら,和算の問題が載っていました。三角形に内接する4つの円について,半径の関係式を証明させる問題です。 「tan を使え」的な誘導がついていましたが,採点講評によるとほとんどの受験生は直接 tan を求めるのではなく,…

Griffithsの電磁気買ってみました

最近,物理の勉強が楽しく,Griffithsの『Introduction to Electrodynamics』を買ってしまいました。以前持っていた第3版はとうの昔に手放してしまったので,第4版の eastern economy edition(international edition の一種で激安)を買い直しです。Introdu…

慈恵の問題を解いてみた

生徒から今年の慈恵の問題をもらったので解いていました。今年は難しすぎる無茶な問題はないみたいですね。第2問の山は log の積分です。いきなり x = a tan θ とやるとドツボ。 私はこうやりました。 x = at と置換。式をきれいにする。 log の前に (x)'=1 …

チャートの物理基礎買いました

物理もちょっと見ることになったので,参考書を買いました。チャート式の『物理基礎』です。数学が得意な高2生とかだったら 駿台の『物理入門』が一押しだけど,念のため河合の『物理教室』も買っておいた方がいい みたいなこと言うと思いますが,私の生徒は…

答えの図に座標は必要?(2009 一橋)

授業で2009年の一橋の問題を扱いました。 p, q を実数とする。放物線 y=x^2-2px+q が,中心 (p, 2q) で半径1の円と中心 (p, p) で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域を xy 平面上に図示せよ。 「放物線と円が共有点をもつ」系…

ベクトルで解く(1991 イベロアメリカン)

前回(垂心はオイラー線上にある(1984 Balkan) - 数学塾variée@吉祥寺)の続き。今日は第6章の章末問題の中で一番難しかったものを紹介します。 3点 M, N, H が与えられているとき,三角形ABCを,Mが辺ABの中点,Nが辺ACの中点,Hが三角形ABCの垂心となる…

垂心はオイラー線上にある(1984 Balkan)

『三角形と円の幾何学』の第6章「三角形の垂心とオイラー線」を読みました。三角形と円の幾何学―数学オリンピック幾何問題完全攻略作者: 安藤哲哉出版社/メーカー: 海鳴社発売日: 2006/11メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 10回この商品を含むブログを見…

負の数の四捨五入(1990東工大後期)

昔の東工大の問題を眺めていたら,「負の場合はヤバイ」みたいなことが書いてあったので調べました。 東工大の問題 (x+1)(x-2) の小数第1位を四捨五入したものが 1+5x と等しくなるような実数 x を求めよ。 普通に解く分にはなんの問題もありません。負の数…

解答集を買った話

『問題解決への数学』 『問題解決への数学』の解答集を買いました。こういう本は自分で解くべきなのですが,ネットで調べたところ,解答集があること,日本の amazon で買えること,約2000円と安いことがわかったので購入に踏み切りました。問題解決への数学…

『爽快! 2^100 三話』

遊星社から出てる『爽快! 2^100 三話』を読みました。筆者は「一気に読める数学の本をめざした」そうで,軽く読める本です。「位取り記数法」「多倍長計算」「対数」の3つを扱います。中高生やその指導者にとって役に立つのは最後の対数のところでしょう。n…

破産の確率・平面版(2000慶應総合政策)

慶應の過去問を見てたら,破産の確率の平面版みたいな問題をみつけました。 格子状に16個の正方形の小部屋があり,その中に一匹のねずみを入れ,その行動を観察する。小部屋は図のように番号がつけられ,各小部屋からは隣の小部屋に通路があり,番号 4, 13, …