数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

解いてみた

麻雀の総当り対戦表(算数チャレンジ 993)

あるマージャン大会が行われました。マージャンとは4人1組で行われるゲームです。この大会では,各参加者は他のすべての参加者とちょうど1回ずつ同じ組になって対戦するような試合の組み合わせになっていました。 参加者数として考えられる最小の人数は4人で…

正992角形から正多角形を作る(算数チャレンジ 992)

正992角形があります。この正992角形の992個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると,何通り作ることができるでしょうか。ただし,合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。 算数チャレンジ(http:…

最小のWolstenholme素数だそうだが(2016 香港TST)

がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。 2016年の香港のTSTの問題です。まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが,個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。Mat…

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

a, b, c は正の実数であり, をみたしている。 を証明せよ。 2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。 n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理…

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

の約数の個数が高々15個であるような自然数 をすべて求めよ。 2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。 が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって を割り…

積の和が12k+1になる素数(2016 イベロアメリカン)

pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。 2016年のイベロアメリカンの問題です。12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが…

正六角柱の断面(算数チャレンジ 991)

図のような底面が一辺の長さ 3 cm の正六角形で,高さが 8 cm の正六角柱 ABCDEF-GHIJKL があります。辺BH上に BP = 3 cm となる点Pをとりました。3点A, P, Jを通る平面でこの立体を切断したところ,この平面は辺CIを点Qで切断しました。このとき,QIの長さ…

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし, とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。 2013年のインドネシアの問題です。 見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。Sの計算法は2つ考えられます。 を利用する。 愚直に計算する。 両方やっ…

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。与式は px = qy の形なので とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。判別式 が平方数にな…

相加相乗の係数を調整する(2016 クロアチアTST)

n は自然数であり, x1, x2, …, xn はすべて0以上であるとする。次の不等式が成立することを証明せよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。左辺に相加平均・相乗平均の関係を使います。素直に(?)使うと,最終的に次の不等式を示すことになりますが,こ…

敵は3人ずつ(2017 香港TST)

n人の委員からなる委員会がある。どの2人の委員も友好関係または敵対関係にあり,どの委員もちょうど3人ずつと敵対関係にある。また,友人の敵は敵である。nとして考えられる値をすべて求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。見るからにグラフ理論の…

対数の和の最小値(2013 インド統計大学)

a, b, c は1より大きい実数である。 の最小値を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。底をそろえて log_{10} a = p (>0) のようにおきます。S はきれいな形になって相加相乗が使えます。くわしいことはpdfを見てください。解いてみた029.pdf - Go…

1,2,3,4を2016個並べた数列(2017 香港TST)

1, 2, 3, 4を全部で2016個並べた数列を考える。1を偶数個含むものは何個あるか。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。答えは 4^(2016) 個の約半分ですが,ちょうど半分ではなく,そのずれを求めるには計算せざるをえません。漸化式を立てるか,二項定理を使…

角の二等分条件の使い方(算数チャレンジ 990)

図のような一辺の長さが3 cmの正方形ABCDがあります。いま,辺BCの延長上に BP=4 cm である点Pをとりました。さらに辺CDの延長上に ∠QPA = ∠BPA となる点Qをとりました。このとき,△APQの面積は何cm^2であるかを求めてください。 算数チャレンジ(http://www…

逆数の和の評価/log 2の評価(2017 香港TST)

の小数点以下にはじめてあらわれる0以外の数字を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。この和は計算できないので,様々な方法で上下から評価することになります。与式を A とおきます。 最大値,最小値で評価すると 積分で評価すると 凸不等式で評価…

ヘルダーの不等式をどう導くか/使うか(2017 香港TST)

3次関数 f(x) の3次の係数は1であり, f(0) = -64 である。f(x) = 0 の解はすべて0以上であるとき,f(-1) の最大値を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。f(x) = 0 の解を α, β, γ とおくと f(-1) は α, β, γ の対称式になります。基本対称式であら…

並べ替えてトレミーの定理(2013 インド統計大学)

ADは半径 r の円の直径である。点B, Cは同じ弧AD上にあり,AB = BC = r/2, A ≠ C をみたしている。CD/r を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。図を描いてみると余弦定理で解けることがわかります。これが一番自然な解法でしょう。また,三角形…

離れた2数の積が平方数になる条件(2013 インド統計大学)

N (N - 101) が自然数の2乗になるような自然数 N をすべて求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。2次式が平方数になるので =k^2 とおいて (平方数の差) = (一定) から (積) = (一定) の形の方程式を導くのがスジでしょう。また,ユークリッドの互…

不等式から関数決定(2013 インド統計大学)

実数から実数への関数 f は次の不等式をみたす。 \[|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2\](cは定数)であることを証明せよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。答えが与えられていることをいかして,はじめは とおいて解きましたが,ヒントの有無は本質…

中点は格子点ではない(算数チャレンジ 989)

図のように正方形の土地の周囲および内部にア~ケの9本の杭(くい)を等間隔に打っています。この中から3本の杭を次の条件をみたすように選びます。 杭どうしをひもで結ぶと三角形ができる。 できた三角形について,どの辺の中点にも杭がない。 たとえば「ア…

分数関数の値域(2013 インド統計大学)

x ≧ 0 を定義域とする関数 の値域を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。「分母を調べれば終わりでは?」と思ったら本当にそうでしたw 分母を g(x)とおくと g(x+2π) = g(x) + 2π なので,「0 ≦ x 解いてみた026.pdf - Google ドライブ

分数型漸化式の極限(2016 インド統計大学)

実数からなる数列 {a_n} は をみたしている。 (1) 0 であることを証明せよ。 (2) a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり, であることを証明せよ。} 2016年のインド統計大学の入試問題です。出題者は「増加列かつ上に有界だから収束」で解いてほしいようですが…

条件を角のみ,長さのみにする(2015 インド統計大学)

△ABC において AB = c, BC = a, CA = b とおく。が成立するとき△ABC は二等辺三角形であることを証明せよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。普通の形状決定問題です。条件を角で書き直しても長さで書き直しても解けます。正直易しすぎですが,たまに…

2016乗の積分(2016 インド統計大学)

f(x) は微分可能な関数であり,0 ≦ x ≦ 1 をみたすすべてのxに対して が成り立つ。 また,f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。なぜかAoPSにあったので解きました。難易度的にはインド工科大学16校の下に位置す…

分子の絶対値は分母の絶対値以上(2015 インド トレーニングキャンプ)

と がともに整数となる正の整数a, bの組をすべて求めよ。 2015年のインドのトレーニングキャンプ(合宿?)の問題です。「0でない整数の絶対値は1以上」という当たり前の性質を使うだけでa, bの候補をしぼりこめます。分子が分母で割りきれるには,分子の絶…

正確な図を描くと解ける(2015 マレーシア ジュニア)

ABCDは凸な四角形である。∠B, ∠C の二等分線の交点をEとおき,半直線BA, CDの交点をFとおく。 AB + CD = BC が成り立つとき,点A, D, E, Fは同一円周上にあることを証明せよ。 2015年のマレーシアのジュニアの問題です。図なしでは考えにくいと思ったので,…

角も辺も1:2(算数チャレンジ 988)

図のような辺ADと辺BCが平行で ∠ B = 90° の台形ABCDがあります。また,この台形は辺ADの長さが辺ABの長さの2倍になっています。いま,対角線ACをひいたところ,∠ ACDの 大きさが ∠ ACB の大きさの2倍になりました。このとき,∠ ADC の大きさは何度であるか…

VUQARさん(?)の整数問題(2015 アゼルバイジャン JBMO TST)

V, U, Q, A, Rは {1, 2, 3, 4, 5} から選んだ相異なる数である。次の方程式をみたす組をすべて求めよ。 2015年のアゼルバイジャンのジュニアバルカンTSTの問題です。VUQAR はアゼルバイジャンの人名みたいです。見た目は複雑そうな嫌な式ですが,素…

係数が適当っぽい不等式(2015 マレーシア ジュニア)

a, b, cは3以上の実数である。次の不等式が成立することを示し,等号成立条件を求めよ。 2015年のマレーシアのジュニア数オリの問題です。日本の中学数学では不等式の証明をほとんどあつかいませんが,マレーシアではどうなのでしょうか? この問題はすごく…

不等式を相加相乗一発で(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c は正の実数である。次の不等式を証明せよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。相加相乗だけで解けます。最初は「結論からお出迎え」しつつ解いて,次に一発で解く方法を考えました。こういうコンテストの問題としては試行錯誤も少なめ。中学生…