解いてみた
あるマージャン大会が行われました。マージャンとは4人1組で行われるゲームです。この大会では，各参加者は他のすべての参加者とちょうど1回ずつ同じ組になって対戦するような試合の組み合わせになっていました。 参加者数として考えられる最小の人数は4人で…
正992角形があります。この正992角形の992個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると，何通り作ることができるでしょうか。ただし，合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。 算数チャレンジ（http:…
がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。 2016年の香港のTSTの問題です。まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが，個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。Mat…
a, b, c は正の実数であり， をみたしている。 を証明せよ。 2016年のインドの地方大会（IMO選抜の1次試験）の問題です。分母をはらうと収拾がつかなくなるので，コーシー・シュワルツの不等式を使います。 n = 2 の場合でいうと，次のようにして分母を処理…
の約数の個数が高々15個であるような自然数 をすべて求めよ。 2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。 が相異なる4つの素数で割りきれるとき，約数の個数は15を越えてしまいます。よって を割り…
pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。 2016年のイベロアメリカンの問題です。12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが…
図のような底面が一辺の長さ 3 cm の正六角形で，高さが 8 cm の正六角柱 ABCDEF-GHIJKL があります。辺BH上に BP = 3 cm となる点Pをとりました。3点A, P, Jを通る平面でこの立体を切断したところ，この平面は辺CIを点Qで切断しました。このとき，QIの長さ…
pを3より大きい素数とし， とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。 2013年のインドネシアの問題です。 見た目は簡単そうですが，何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。Sの計算法は2つ考えられます。 を利用する。 愚直に計算する。 両方やっ…
次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。与式は px = qy の形なので とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが，qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。判別式 が平方数にな…
n は自然数であり， x1, x2, …, xn はすべて0以上であるとする。次の不等式が成立することを証明せよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。左辺に相加平均・相乗平均の関係を使います。素直に（？）使うと，最終的に次の不等式を示すことになりますが，こ…
n人の委員からなる委員会がある。どの2人の委員も友好関係または敵対関係にあり，どの委員もちょうど3人ずつと敵対関係にある。また，友人の敵は敵である。nとして考えられる値をすべて求めよ。 2017年（？）の香港のTSTの問題です。見るからにグラフ理論の…
a, b, c は1より大きい実数である。 の最小値を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。底をそろえて log_{10} a = p (>0) のようにおきます。S はきれいな形になって相加相乗が使えます。くわしいことはpdfを見てください。解いてみた029.pdf - Go…
1, 2, 3, 4を全部で2016個並べた数列を考える。1を偶数個含むものは何個あるか。 2017年（？）の香港のTSTの問題です。答えは 4^(2016) 個の約半分ですが，ちょうど半分ではなく，そのずれを求めるには計算せざるをえません。漸化式を立てるか，二項定理を使…
図のような一辺の長さが3 cmの正方形ABCDがあります。いま，辺BCの延長上に BP=4 cm である点Pをとりました。さらに辺CDの延長上に ∠QPA = ∠BPA となる点Qをとりました。このとき，△APQの面積は何cm^2であるかを求めてください。 算数チャレンジ（http://www…
の小数点以下にはじめてあらわれる0以外の数字を求めよ。 2017年（？）の香港のTSTの問題です。この和は計算できないので，様々な方法で上下から評価することになります。与式を A とおきます。 最大値，最小値で評価すると 積分で評価すると 凸不等式で評価…
3次関数 f(x) の3次の係数は1であり， f(0) = -64 である。f(x) = 0 の解はすべて0以上であるとき，f(-1) の最大値を求めよ。 2017年（？）の香港のTSTの問題です。f(x) = 0 の解を α, β, γ とおくと f(-1) は α, β, γ の対称式になります。基本対称式であら…
ADは半径 r の円の直径である。点B, Cは同じ弧AD上にあり，AB = BC = r/2, A ≠ C をみたしている。CD/r を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。図を描いてみると余弦定理で解けることがわかります。これが一番自然な解法でしょう。また，三角形…
N (N - 101) が自然数の2乗になるような自然数 N をすべて求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。2次式が平方数になるので =k^2 とおいて (平方数の差) = (一定) から (積) = (一定) の形の方程式を導くのがスジでしょう。また，ユークリッドの互…
実数から実数への関数 f は次の不等式をみたす。 \[|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2\]（cは定数）であることを証明せよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。答えが与えられていることをいかして，はじめは とおいて解きましたが，ヒントの有無は本質…
図のように正方形の土地の周囲および内部にア～ケの9本の杭（くい）を等間隔に打っています。この中から3本の杭を次の条件をみたすように選びます。 杭どうしをひもで結ぶと三角形ができる。 できた三角形について，どの辺の中点にも杭がない。 たとえば「ア…
x ≧ 0 を定義域とする関数 の値域を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。「分母を調べれば終わりでは？」と思ったら本当にそうでしたw 分母を g(x)とおくと g(x+2π) = g(x) + 2π なので，「0 ≦ x 解いてみた026.pdf - Google ドライブ
実数からなる数列 {a_n} は をみたしている。 (1) 0 であることを証明せよ。 (2) a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり， であることを証明せよ。} 2016年のインド統計大学の入試問題です。出題者は「増加列かつ上に有界だから収束」で解いてほしいようですが…
△ABC において AB = c, BC = a, CA = b とおく。が成立するとき△ABC は二等辺三角形であることを証明せよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。普通の形状決定問題です。条件を角で書き直しても長さで書き直しても解けます。正直易しすぎですが，たまに…
f(x) は微分可能な関数であり，0 ≦ x ≦ 1 をみたすすべてのxに対して が成り立つ。 また，f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。なぜかAoPSにあったので解きました。難易度的にはインド工科大学16校の下に位置す…
と がともに整数となる正の整数a, bの組をすべて求めよ。 2015年のインドのトレーニングキャンプ（合宿？）の問題です。「0でない整数の絶対値は1以上」という当たり前の性質を使うだけでa, bの候補をしぼりこめます。分子が分母で割りきれるには，分子の絶…
ABCDは凸な四角形である。∠B, ∠C の二等分線の交点をEとおき，半直線BA, CDの交点をFとおく。 AB + CD = BC が成り立つとき，点A, D, E, Fは同一円周上にあることを証明せよ。 2015年のマレーシアのジュニアの問題です。図なしでは考えにくいと思ったので，…
図のような辺ADと辺BCが平行で ∠ B = 90° の台形ABCDがあります。また，この台形は辺ADの長さが辺ABの長さの2倍になっています。いま，対角線ACをひいたところ，∠ ACDの 大きさが ∠ ACB の大きさの2倍になりました。このとき，∠ ADC の大きさは何度であるか…
V, U, Q, A, Rは {1, 2, 3, 4, 5} から選んだ相異なる数である。次の方程式をみたす組をすべて求めよ。 2015年のアゼルバイジャンのジュニアバルカンTSTの問題です。VUQAR はアゼルバイジャンの人名みたいです。見た目は複雑そうな嫌な式ですが，素…
a, b, cは3以上の実数である。次の不等式が成立することを示し，等号成立条件を求めよ。 2015年のマレーシアのジュニア数オリの問題です。日本の中学数学では不等式の証明をほとんどあつかいませんが，マレーシアではどうなのでしょうか？ この問題はすごく…
a, b, c は正の実数である。次の不等式を証明せよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。相加相乗だけで解けます。最初は「結論からお出迎え」しつつ解いて，次に一発で解く方法を考えました。こういうコンテストの問題としては試行錯誤も少なめ。中学生…
a, b, c, d, e, f, g, h, kは1以上9以下の相異なる整数である。 の最小値を求めよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。積の和ということで，最初は並べ替え不等式の利用を考えましたが，「3つの数の積の場合はどうすればいいんだ？」で相加相乗へ。下…
次のように数列 {a_n} を定める。任意の自然数nに対して a_n 2009年のモルドバのTSTの問題です。いろいろ試してみましたが，「指数関数による評価」や「一般項を予想して数学的帰納法」で解くのは難しそうです。東大の過去問に類題があり，それを解いたとき…
1, 2, 3の数字が1つずつ書かれた3枚のカード1, 2, 3の組をA, B, Cの3人がそれぞれ1組ずつ持っている。3人が同時にカードを1枚出すとき，出されたカードのうちの2枚だけが同じ数字の書かれたカードである確率を求めなさい。 ただし，3人がどのカードを出すこ…
100以下の奇数すべてをかけ算してできる数について，下3ケタを求めてください。 算数チャレンジ（http://www.sansu.org）の第987回を解きました。下3桁を求めるには 1000 = 2^3 x 5^3 を法として考えればよく，125と8で割った余りを調べれば解けます。 125 =…
pを素数とする。x^3 + y^3 - 3xy = p-1 をみたす0以上の整数 x, y の組をすべて求めよ。 2008年のモルドバのTSTの問題です。p = x^3 + y^3 + 1 - 3xy は因数分解できて，(積) = (素数) の形になります。本解以外のネタを思いつかなかったので，オマケとしてP…
次の連立方程式の実数解をすべて求めよ。x^3 + 3xy^2 = 49, x^2 + 8xy + y^2 = 8y + 17x 2008年のモルドバのTSTの問題です。ぱっと見では第一手がわからないところに惹かれました。与式をyとy^2について解くと，y^2 = (y)^2 という当たり前の式を使ってxだけ…
4桁の整数nはどの桁の数字も平方数であり，かつ2, 3, 5, 7で割りきれる。 このようなnをすべて求めよ。 2016年のCentroAmericanの問題です。4桁なのでしらみつぶしで楽々処理できます。小学生でも解けそう，というよりむしろ小学生の方が速く解けそう。 7の…
実数 a, b, c, d は a/b + b/c + c/d + d/a = 6 をみたす。a/c + b/d + c/a + d/b の最大値を求めよ。 2013年のイスラエルの問題を解きました。stage 1ということは予選なのでしょうか？置き換えできれいな形になるのは見え見えで，ぱっと見には簡単そうだっ…
aは実数である。次の方程式をみたす実数の組(x, y)をすべて求めよ。 y^2 = x^3 + (a-1)x^2 + a^2x, x^2 = y^3 + (a-1)y^2 + a^2y 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。与えられた式は f(x) = g(y), f(y) = g(x) 型の連立方程式です。「辺々足して基本対…
△ABCの辺BCの中点をDとおく。 点Pは△ABDの内部にあり，∠PAD = 90° - ∠PBD = ∠CADをみたしている。 PCとADの交点をQとするとき，∠PQB = ∠BAC であることを証明せよ。 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。角の条件がわかりにくく，文章だけではピンと来…
算数にチャレンジ！！の第986回の問題を解きました。 図のような AE = CD の五角形ABCDE があり，対角線ACをひいたところ AC = ED となりました。また，面積について △ABP + △ECP = △PBC - △PAE が成り立っています。△PBC の面積が 12 cm^2 であるとき，△EBD…
正しければ◯を，正しくなければ×を書きなさい。「正十二面体は，すべての面が正三角形である。」 2007年の慶應義塾高校の第1問（小問集合）の一部です。 訓練された中3生なら「正十二面体の各面は正五角形に決まってる。×だ！」と即答しそうですが，大学受験…
2016年のカナダのMathematical Olympiad Qualification（予選？）の問題を解きました。 (1) 3^n + 4^n が11の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。(2) 4^n + 7^n + 20^n が31の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。 Fermatの小定理より(1)(2)の…
2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。 m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。 mod 計算と思いきや，(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤し…
久しぶりに数学の記事を書きます。1994年の香港のIMO代表選抜試験（Team Selection Test = TST）の2日目第1問を解きました。 x, y, zは正の実数であり，xy+yz+zx=1をみたす。 次の不等式が成立することを証明せよ。 左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。…
