数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

数学/数オリ

2018 China Northern (grade 10) 第2問

2018 China Northern Math Olympiad の第 2 問を解きました。grade 10 とあったので高校1年生くらいが対象なんでしょうか? ジュニア大会みたいなものだろうと思います。 0 以上の実数 は次の等式をみたす。 の最大値と最小値を求めよ。https://artofproblem…

2018 AIME 第11問

2018年の AIME の第11問を解きました。 を 143 進法であらわしたとき,下 2 桁が 01 になるような自然数 の最小値を求めよ。https://artofproblemsolving.com/community/c5h1604138p9995346 与えられた条件を合同式を使ってあらわすと,こうなります。これだ…

CloudLaTexを使ってみた

web ブラウザ上で TeX の文書を作れる CloudLaTex を使ってみました。cloudlatex.io CloudLaTex のいいところ web ブラウザ上ですべての作業ができる 今回,CloudLaTex を使った最大の理由がこれです。 あるスタイルファイルが windows ではうまく動くのに,…

最小のWolstenholme素数だそうだが(2016 香港TST)

がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。 2016年の香港のTSTの問題です。まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが,個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。Mat…

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

a, b, c は正の実数であり, をみたしている。 を証明せよ。 2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。 n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理…

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

の約数の個数が高々15個であるような自然数 をすべて求めよ。 2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。 が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって を割り…

積の和が12k+1になる素数(2016 イベロアメリカン)

pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。 2016年のイベロアメリカンの問題です。12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが…

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし, とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。 2013年のインドネシアの問題です。 見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。Sの計算法は2つ考えられます。 を利用する。 愚直に計算する。 両方やっ…

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。与式は px = qy の形なので とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。判別式 が平方数にな…

相加相乗の係数を調整する(2016 クロアチアTST)

n は自然数であり, x1, x2, …, xn はすべて0以上であるとする。次の不等式が成立することを証明せよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。左辺に相加平均・相乗平均の関係を使います。素直に(?)使うと,最終的に次の不等式を示すことになりますが,こ…

敵は3人ずつ(2017 香港TST)

n人の委員からなる委員会がある。どの2人の委員も友好関係または敵対関係にあり,どの委員もちょうど3人ずつと敵対関係にある。また,友人の敵は敵である。nとして考えられる値をすべて求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。見るからにグラフ理論の…

1,2,3,4を2016個並べた数列(2017 香港TST)

1, 2, 3, 4を全部で2016個並べた数列を考える。1を偶数個含むものは何個あるか。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。答えは 4^(2016) 個の約半分ですが,ちょうど半分ではなく,そのずれを求めるには計算せざるをえません。漸化式を立てるか,二項定理を使…

逆数の和の評価/log 2の評価(2017 香港TST)

の小数点以下にはじめてあらわれる0以外の数字を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。この和は計算できないので,様々な方法で上下から評価することになります。与式を A とおきます。 最大値,最小値で評価すると 積分で評価すると 凸不等式で評価…

ヘルダーの不等式をどう導くか/使うか(2017 香港TST)

3次関数 f(x) の3次の係数は1であり, f(0) = -64 である。f(x) = 0 の解はすべて0以上であるとき,f(-1) の最大値を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。f(x) = 0 の解を α, β, γ とおくと f(-1) は α, β, γ の対称式になります。基本対称式であら…

分子の絶対値は分母の絶対値以上(2015 インド トレーニングキャンプ)

と がともに整数となる正の整数a, bの組をすべて求めよ。 2015年のインドのトレーニングキャンプ(合宿?)の問題です。「0でない整数の絶対値は1以上」という当たり前の性質を使うだけでa, bの候補をしぼりこめます。分子が分母で割りきれるには,分子の絶…

正確な図を描くと解ける(2015 マレーシア ジュニア)

ABCDは凸な四角形である。∠B, ∠C の二等分線の交点をEとおき,半直線BA, CDの交点をFとおく。 AB + CD = BC が成り立つとき,点A, D, E, Fは同一円周上にあることを証明せよ。 2015年のマレーシアのジュニアの問題です。図なしでは考えにくいと思ったので,…

VUQARさん(?)の整数問題(2015 アゼルバイジャン JBMO TST)

V, U, Q, A, Rは {1, 2, 3, 4, 5} から選んだ相異なる数である。次の方程式をみたす組をすべて求めよ。 2015年のアゼルバイジャンのジュニアバルカンTSTの問題です。VUQAR はアゼルバイジャンの人名みたいです。見た目は複雑そうな嫌な式ですが,素…

係数が適当っぽい不等式(2015 マレーシア ジュニア)

a, b, cは3以上の実数である。次の不等式が成立することを示し,等号成立条件を求めよ。 2015年のマレーシアのジュニア数オリの問題です。日本の中学数学では不等式の証明をほとんどあつかいませんが,マレーシアではどうなのでしょうか? この問題はすごく…

不等式を相加相乗一発で(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c は正の実数である。次の不等式を証明せよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。相加相乗だけで解けます。最初は「結論からお出迎え」しつつ解いて,次に一発で解く方法を考えました。こういうコンテストの問題としては試行錯誤も少なめ。中学生…

積の和の最小値(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c, d, e, f, g, h, kは1以上9以下の相異なる整数である。 の最小値を求めよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。積の和ということで,最初は並べ替え不等式の利用を考えましたが,「3つの数の積の場合はどうすればいいんだ?」で相加相乗へ。下…

級数の評価(2009 モルドバ TST)

次のように数列 {a_n} を定める。任意の自然数nに対して a_n 2009年のモルドバのTSTの問題です。いろいろ試してみましたが,「指数関数による評価」や「一般項を予想して数学的帰納法」で解くのは難しそうです。東大の過去問に類題があり,それを解いたとき…

(積) = (素数) の形になおす(2008 モルドバ TST)

pを素数とする。x^3 + y^3 - 3xy = p-1 をみたす0以上の整数 x, y の組をすべて求めよ。 2008年のモルドバのTSTの問題です。p = x^3 + y^3 + 1 - 3xy は因数分解できて,(積) = (素数) の形になります。本解以外のネタを思いつかなかったので,オマケとしてP…

一旦yとy^2について解いて文字消去(2008 モルドバ TST)

次の連立方程式の実数解をすべて求めよ。x^3 + 3xy^2 = 49, x^2 + 8xy + y^2 = 8y + 17x 2008年のモルドバのTSTの問題です。ぱっと見では第一手がわからないところに惹かれました。与式をyとy^2について解くと,y^2 = (y)^2 という当たり前の式を使ってxだけ…

どの桁の数字も平方数(2016 CentroAmerican)

4桁の整数nはどの桁の数字も平方数であり,かつ2, 3, 5, 7で割りきれる。 このようなnをすべて求めよ。 2016年のCentroAmericanの問題です。4桁なのでしらみつぶしで楽々処理できます。小学生でも解けそう,というよりむしろ小学生の方が速く解けそう。 7の…

比の和の最大値(2013 イスラエル stage 1)

実数 a, b, c, d は a/b + b/c + c/d + d/a = 6 をみたす。a/c + b/d + c/a + d/b の最大値を求めよ。 2013年のイスラエルの問題を解きました。stage 1ということは予選なのでしょうか?置き換えできれいな形になるのは見え見えで,ぱっと見には簡単そうだっ…

連立方程式 → 基本対称式, 交代式(2015 トルコ EGMO TST)

aは実数である。次の方程式をみたす実数の組(x, y)をすべて求めよ。 y^2 = x^3 + (a-1)x^2 + a^2x, x^2 = y^3 + (a-1)y^2 + a^2y 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。与えられた式は f(x) = g(y), f(y) = g(x) 型の連立方程式です。「辺々足して基本対…

(角の和)=直角 → 円(2015 トルコ EGMO TST)

△ABCの辺BCの中点をDとおく。 点Pは△ABDの内部にあり,∠PAD = 90° - ∠PBD = ∠CADをみたしている。 PCとADの交点をQとするとき,∠PQB = ∠BAC であることを証明せよ。 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。角の条件がわかりにくく,文章だけではピンと来…

a^n + b^n + c^n の倍数判定(2016 カナダ予選)

2016年のカナダのMathematical Olympiad Qualification(予選?)の問題を解きました。 (1) 3^n + 4^n が11の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。(2) 4^n + 7^n + 20^n が31の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。 Fermatの小定理より(1)(2)の…

3次式, 4次式をみたす整数(2015 トルコ EGMO TST)

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。 m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。 mod 計算と思いきや,(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤し…

xy+yz+zx=1と不等式(1994 香港TST)

久しぶりに数学の記事を書きます。1994年の香港のIMO代表選抜試験(Team Selection Test = TST)の2日目第1問を解きました。 x, y, zは正の実数であり,xy+yz+zx=1をみたす。 次の不等式が成立することを証明せよ。 左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。…