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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

最小のWolstenholme素数だそうだが(2016 香港TST)

がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。 2016年の香港のTSTの問題です。まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが,個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。Mat…

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

a, b, c は正の実数であり, をみたしている。 を証明せよ。 2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。 n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理…

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

の約数の個数が高々15個であるような自然数 をすべて求めよ。 2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。 が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって を割り…

積の和が12k+1になる素数(2016 イベロアメリカン)

pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。 2016年のイベロアメリカンの問題です。12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが…

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし, とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。 2013年のインドネシアの問題です。 見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。Sの計算法は2つ考えられます。 を利用する。 愚直に計算する。 両方やっ…

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。与式は px = qy の形なので とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。判別式 が平方数にな…

相加相乗の係数を調整する(2016 クロアチアTST)

n は自然数であり, x1, x2, …, xn はすべて0以上であるとする。次の不等式が成立することを証明せよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。左辺に相加平均・相乗平均の関係を使います。素直に(?)使うと,最終的に次の不等式を示すことになりますが,こ…

敵は3人ずつ(2017 香港TST)

n人の委員からなる委員会がある。どの2人の委員も友好関係または敵対関係にあり,どの委員もちょうど3人ずつと敵対関係にある。また,友人の敵は敵である。nとして考えられる値をすべて求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。見るからにグラフ理論の…

1,2,3,4を2016個並べた数列(2017 香港TST)

1, 2, 3, 4を全部で2016個並べた数列を考える。1を偶数個含むものは何個あるか。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。答えは 4^(2016) 個の約半分ですが,ちょうど半分ではなく,そのずれを求めるには計算せざるをえません。漸化式を立てるか,二項定理を使…

逆数の和の評価/log 2の評価(2017 香港TST)

の小数点以下にはじめてあらわれる0以外の数字を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。この和は計算できないので,様々な方法で上下から評価することになります。与式を A とおきます。 最大値,最小値で評価すると 積分で評価すると 凸不等式で評価…

ヘルダーの不等式をどう導くか/使うか(2017 香港TST)

3次関数 f(x) の3次の係数は1であり, f(0) = -64 である。f(x) = 0 の解はすべて0以上であるとき,f(-1) の最大値を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。f(x) = 0 の解を α, β, γ とおくと f(-1) は α, β, γ の対称式になります。基本対称式であら…

分子の絶対値は分母の絶対値以上(2015 インド トレーニングキャンプ)

と がともに整数となる正の整数a, bの組をすべて求めよ。 2015年のインドのトレーニングキャンプ(合宿?)の問題です。「0でない整数の絶対値は1以上」という当たり前の性質を使うだけでa, bの候補をしぼりこめます。分子が分母で割りきれるには,分子の絶…

正確な図を描くと解ける(2015 マレーシア ジュニア)

ABCDは凸な四角形である。∠B, ∠C の二等分線の交点をEとおき,半直線BA, CDの交点をFとおく。 AB + CD = BC が成り立つとき,点A, D, E, Fは同一円周上にあることを証明せよ。 2015年のマレーシアのジュニアの問題です。図なしでは考えにくいと思ったので,…

VUQARさん(?)の整数問題(2015 アゼルバイジャン JBMO TST)

V, U, Q, A, Rは {1, 2, 3, 4, 5} から選んだ相異なる数である。次の方程式をみたす組をすべて求めよ。 2015年のアゼルバイジャンのジュニアバルカンTSTの問題です。VUQAR はアゼルバイジャンの人名みたいです。見た目は複雑そうな嫌な式ですが,素…

係数が適当っぽい不等式(2015 マレーシア ジュニア)

a, b, cは3以上の実数である。次の不等式が成立することを示し,等号成立条件を求めよ。 2015年のマレーシアのジュニア数オリの問題です。日本の中学数学では不等式の証明をほとんどあつかいませんが,マレーシアではどうなのでしょうか? この問題はすごく…

不等式を相加相乗一発で(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c は正の実数である。次の不等式を証明せよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。相加相乗だけで解けます。最初は「結論からお出迎え」しつつ解いて,次に一発で解く方法を考えました。こういうコンテストの問題としては試行錯誤も少なめ。中学生…

積の和の最小値(2012 モルドバ JBMO TST)

a, b, c, d, e, f, g, h, kは1以上9以下の相異なる整数である。 の最小値を求めよ。 2012年のモルドバのJBMO TSTの問題です。積の和ということで,最初は並べ替え不等式の利用を考えましたが,「3つの数の積の場合はどうすればいいんだ?」で相加相乗へ。下…

級数の評価(2009 モルドバ TST)

次のように数列 {a_n} を定める。任意の自然数nに対して a_n 2009年のモルドバのTSTの問題です。いろいろ試してみましたが,「指数関数による評価」や「一般項を予想して数学的帰納法」で解くのは難しそうです。東大の過去問に類題があり,それを解いたとき…

(積) = (素数) の形になおす(2008 モルドバ TST)

pを素数とする。x^3 + y^3 - 3xy = p-1 をみたす0以上の整数 x, y の組をすべて求めよ。 2008年のモルドバのTSTの問題です。p = x^3 + y^3 + 1 - 3xy は因数分解できて,(積) = (素数) の形になります。本解以外のネタを思いつかなかったので,オマケとしてP…

一旦yとy^2について解いて文字消去(2008 モルドバ TST)

次の連立方程式の実数解をすべて求めよ。x^3 + 3xy^2 = 49, x^2 + 8xy + y^2 = 8y + 17x 2008年のモルドバのTSTの問題です。ぱっと見では第一手がわからないところに惹かれました。与式をyとy^2について解くと,y^2 = (y)^2 という当たり前の式を使ってxだけ…

どの桁の数字も平方数(2016 CentroAmerican)

4桁の整数nはどの桁の数字も平方数であり,かつ2, 3, 5, 7で割りきれる。 このようなnをすべて求めよ。 2016年のCentroAmericanの問題です。4桁なのでしらみつぶしで楽々処理できます。小学生でも解けそう,というよりむしろ小学生の方が速く解けそう。 7の…

比の和の最大値(2013 イスラエル stage 1)

実数 a, b, c, d は a/b + b/c + c/d + d/a = 6 をみたす。a/c + b/d + c/a + d/b の最大値を求めよ。 2013年のイスラエルの問題を解きました。stage 1ということは予選なのでしょうか?置き換えできれいな形になるのは見え見えで,ぱっと見には簡単そうだっ…

連立方程式 → 基本対称式, 交代式(2015 トルコ EGMO TST)

aは実数である。次の方程式をみたす実数の組(x, y)をすべて求めよ。 y^2 = x^3 + (a-1)x^2 + a^2x, x^2 = y^3 + (a-1)y^2 + a^2y 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。与えられた式は f(x) = g(y), f(y) = g(x) 型の連立方程式です。「辺々足して基本対…

(角の和)=直角 → 円(2015 トルコ EGMO TST)

△ABCの辺BCの中点をDとおく。 点Pは△ABDの内部にあり,∠PAD = 90° - ∠PBD = ∠CADをみたしている。 PCとADの交点をQとするとき,∠PQB = ∠BAC であることを証明せよ。 2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題です。角の条件がわかりにくく,文章だけではピンと来…

a^n + b^n + c^n の倍数判定(2016 カナダ予選)

2016年のカナダのMathematical Olympiad Qualification(予選?)の問題を解きました。 (1) 3^n + 4^n が11の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。(2) 4^n + 7^n + 20^n が31の倍数となるような正の整数nをすべて求めよ。 Fermatの小定理より(1)(2)の…

3次式, 4次式をみたす整数(2015 トルコ EGMO TST)

2015年のトルコのEGMO選抜試験の問題を解きました。 m^4 + 2n^3 + 1 = mn^3 + n をみたす整数の組(m, n)をすべて求めよ。 mod 計算と思いきや,(m-2)n^3+n-m^4-1=0 と変形して3次関数の符号変化を調べることで解決します。数式処理ソフトを使って試行錯誤し…

xy+yz+zx=1と不等式(1994 香港TST)

久しぶりに数学の記事を書きます。1994年の香港のIMO代表選抜試験(Team Selection Test = TST)の2日目第1問を解きました。 x, y, zは正の実数であり,xy+yz+zx=1をみたす。 次の不等式が成立することを証明せよ。 左辺の整理がうまくいけば解けたも同然。…

『ピジョンの誘惑』読んでます

『ピジョンの誘惑』という鳩ノ巣原理(部屋割り論法)の問題ばかり70問集めた本を読んでいます。半分くらい読んだところです。ピジョンの誘惑 論理力を鍛える70の扉作者: 根上生也出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 2015/02/24メディア: 単行本(ソフトカ…

正確な図を描こう

初等幾何の難問を解くにあたって正確な図を描くことは大事なんだなあと思ったので,記事にまとめたいと思います。 問題例 まず,2000年のインドの問題。 三角形ABC内接円と辺BC, CA, ABの接点をK, L, Mとおく。 Aを通ってLKに平行な直線とMKの交点をPとし, …

具体例が意外な図形に

2015年のカナダの第3問を解いてみました。 On a (4n+2)(4n+2) square grid, a turtle can move between squares sharing a side. The turtle begins in a corner square of the grid and enters each square exactly once, ending in the square where she s…

広中杯の問題で対数を使ってみた

2000年に行われた第1回広中杯トライアル*1の問題を考えてみました。こういう問題です(表現は大幅に変えてあります)。 2^2000 の桁数を a,5^2000の 桁数を b として a+b を求めよ。 (2^2000) x (5^2000) = 10^2000 を使うだろうことは見え見えで,さらに a…

某中学の出典がAIMEだった

高校生用の問題選びをしていたら,偶然ある中学の入試問題の元ネタを見つけました。1987年のAIME(American Invitational Mathematics Exam)の問題です。 縦19,横87の長方形の中にABと平行な線分PQを引いて面積を4等分したら,長方形の周も4等分された。PQ…

「こんな補助線,気づくか!」と思った話

初等幾何について書きたいと思います。 四角形 ABCD について, AB:AD=2:3, AC:BC=3:1, ∠ACB = ∠BAD = 60◦ なる条件が成立するとき,∠ACD の大きさを求めよ。 私は三角関数を使って解きました。DからACに下ろした垂線の足をHとして,いろいろ計算するとAH=A…

ベクトルで解く(1991 イベロアメリカン)

前回(垂心はオイラー線上にある(1984 Balkan) - 数学塾variée@吉祥寺)の続き。今日は第6章の章末問題の中で一番難しかったものを紹介します。 3点 M, N, H が与えられているとき,三角形ABCを,Mが辺ABの中点,Nが辺ACの中点,Hが三角形ABCの垂心となる…

垂心はオイラー線上にある(1984 Balkan)

『三角形と円の幾何学』の第6章「三角形の垂心とオイラー線」を読みました。三角形と円の幾何学―数学オリンピック幾何問題完全攻略作者: 安藤哲哉出版社/メーカー: 海鳴社発売日: 2006/11メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 10回この商品を含むブログを見…

素因数分解してきづいた(2012 JMO予選6)

授業で 2012 年の JMO 予選の問題を扱いました。 2 x 100 のマス目があり,各マスを赤または青で塗りつぶす。以下の2つの条件をともにみたすような塗り方は何通りあるか。ただし,回転や裏返しにより重なりあう塗り方も異なるものとして数える。 赤く塗られ…

IMC の問題を見てみた

数学オリンピック財団のHPでIMC (International Mathematics Competition)という大会があるのを知りました。 JJMO予選通過者が代表が選ばれるみたいですね。公式HPはここ。 2012IMC 1999 Team 第1問(1) 1999年におこなわれた第1回大会のチーム部門第1問(1)は…

コーシー・シュワルツへの持ち込み方(不等式)

2003 China Mathematical Competition から不等式の問題を紹介します。 問題 3/2 ≦ x ≦ 5 とする。次の不等式を証明せよ。 模範解答はコーシー・シュワルツの不等式です。 2√(x+1) を分割するところがうまい。係数が 2 のままではうまくいきません。この問題…

ねじれの位置→補助平面の利用(空間図形)

ねじれの位置→補助平面の利用 China Mathematical Competition(中国の数学コンテスト1次予選)の問題に面白いのがありました。2003年に出題されたものです。 問題 四面体ABCDは AB = 1, CD = √3 で,直線 AB,CD の距離,角度はそれぞれ 2, π/3 である。体…

広中の一筆書き ≒ 京大の一筆書き(場合の数)

広中杯の過去問で一筆書きの問題をみつけました。 問題1 次の図形を,A,B,C,D,E,F のいずれかの点から始めて一筆書きする方法は何通りあるか。 A,D を始点とする方法を数えて3倍すればいいことは明らかですが,数え上げは結構面倒です。こういう「全…

n 角形を正方形と正三角形に分割(図形)

正12角形の面積を求める問題をやりました。 問題1 1辺の長さが1の正12角形の面積を求めよ。 外接円を描き,その中心と各頂点を結び……とやりたくなるところですが,実は正方形と正三角形に分割できます。三角関数は使いません。 よくこんなの思いつくものだと…

東工大の整数問題の類題

誘導をカットしたら面白そうだなあ~と思った問題の類題をその日のうちに見つけました。もとになった問題は1984年の東工大。整数問題です。 問題1 a, b を正の整数とする。(1) とおくとき,不等式 が成り立つことを示せ。(2) が素数の整数乗になる a, b をす…