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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

地元の大学の問題を見てみたら

旺文社の『全国大学入試問題正解』(通称「電話帳」)をパラパラやっていたら,地元の弘前大学の問題が目に入りました。医学部の問題がわずか3問しかなく,しかも超易しいことに驚きました。 第1問 (1) 関数 のグラフの概形をかけ。 (2) 定積分 を求めよ。 (…

対数の和の最小値(2013 インド統計大学)

a, b, c は1より大きい実数である。 の最小値を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。底をそろえて log_{10} a = p (>0) のようにおきます。S はきれいな形になって相加相乗が使えます。くわしいことはpdfを見てください。解いてみた029.pdf - Go…

並べ替えてトレミーの定理(2013 インド統計大学)

ADは半径 r の円の直径である。点B, Cは同じ弧AD上にあり,AB = BC = r/2, A ≠ C をみたしている。CD/r を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。図を描いてみると余弦定理で解けることがわかります。これが一番自然な解法でしょう。また,三角形…

離れた2数の積が平方数になる条件(2013 インド統計大学)

N (N - 101) が自然数の2乗になるような自然数 N をすべて求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。2次式が平方数になるので =k^2 とおいて (平方数の差) = (一定) から (積) = (一定) の形の方程式を導くのがスジでしょう。また,ユークリッドの互…

不等式から関数決定(2013 インド統計大学)

実数から実数への関数 f は次の不等式をみたす。 \[|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2\](cは定数)であることを証明せよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。答えが与えられていることをいかして,はじめは とおいて解きましたが,ヒントの有無は本質…

分数関数の値域(2013 インド統計大学)

x ≧ 0 を定義域とする関数 の値域を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。「分母を調べれば終わりでは?」と思ったら本当にそうでしたw 分母を g(x)とおくと g(x+2π) = g(x) + 2π なので,「0 ≦ x 解いてみた026.pdf - Google ドライブ

分数型漸化式の極限(2016 インド統計大学)

実数からなる数列 {a_n} は をみたしている。 (1) 0 であることを証明せよ。 (2) a_1 > 1 のとき a_n は減少列であり, であることを証明せよ。} 2016年のインド統計大学の入試問題です。出題者は「増加列かつ上に有界だから収束」で解いてほしいようですが…

条件を角のみ,長さのみにする(2015 インド統計大学)

△ABC において AB = c, BC = a, CA = b とおく。が成立するとき△ABC は二等辺三角形であることを証明せよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。普通の形状決定問題です。条件を角で書き直しても長さで書き直しても解けます。正直易しすぎですが,たまに…

2016乗の積分(2016 インド統計大学)

f(x) は微分可能な関数であり,0 ≦ x ≦ 1 をみたすすべてのxに対して が成り立つ。 また,f(0) = 1 である。次の積分の値を求めよ。 2016年のインド統計大学の入試問題です。なぜかAoPSにあったので解きました。難易度的にはインド工科大学16校の下に位置す…

東京医科大学の数学

ここ何日かは東京医科大学の過去問の解答を作っていました。約15年分目を通した中で一番難しかったのは1999年の第2問です。 すべての正の数 x に対して不等式が成り立つような整数 n の最大値は( )である。 「log をとって微分→最小値が正」とすると多分解…

ムサビの変な問題

当塾では勉強のアクセントとしてたまにパズルっぽい問題を使っています。小学生から再受験生まで幅広く使えて,しかも必ずウケる問題を紹介します。2001年の武蔵野美術大学の問題です。 次の文章を読んでその内容を整理し,腹痛の原因がどの料理であったかを…

2016日本医科大学を解いてみた

今年の日本医科大学の問題を解いてみました。 問題ごとの講評 第1問は普通。易しいわけではありませんが,医学部に行きたいならこれくらいは解けてほしい。第2問は早稲田理工あたりで出題されれば「普通」「計算するだけ」とか言われそうですが,第一手の置…

2016杏林大学を解いてみた

今年の杏林大学の問題を解いてみました。第3問の複素数が私大医学部っぽいです。 (1) 複素数平面上の図形 (a)は直線(垂直二等分線),(b)は円(アポロニウスの円)。 (c)は複素数のまま解くのはちょっと無理なので,直交座標に直します。z=x+iy を代入する…

和算の幾何をどう切り崩す?

駿台の東大模試の過去問集を見ていたら,和算の問題が載っていました。三角形に内接する4つの円について,半径の関係式を証明させる問題です。 「tan を使え」的な誘導がついていましたが,採点講評によるとほとんどの受験生は直接 tan を求めるのではなく,…

慈恵の問題を解いてみた

生徒から今年の慈恵の問題をもらったので解いていました。今年は難しすぎる無茶な問題はないみたいですね。第2問の山は log の積分です。いきなり x = a tan θ とやるとドツボ。 私はこうやりました。 x = at と置換。式をきれいにする。 log の前に (x)'=1 …

答えの図に座標は必要?(2009 一橋)

授業で2009年の一橋の問題を扱いました。 p, q を実数とする。放物線 y=x^2-2px+q が,中心 (p, 2q) で半径1の円と中心 (p, p) で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域を xy 平面上に図示せよ。 「放物線と円が共有点をもつ」系…

負の数の四捨五入(1990東工大後期)

昔の東工大の問題を眺めていたら,「負の場合はヤバイ」みたいなことが書いてあったので調べました。 東工大の問題 (x+1)(x-2) の小数第1位を四捨五入したものが 1+5x と等しくなるような実数 x を求めよ。 普通に解く分にはなんの問題もありません。負の数…

破産の確率・平面版(2000慶應総合政策)

慶應の過去問を見てたら,破産の確率の平面版みたいな問題をみつけました。 格子状に16個の正方形の小部屋があり,その中に一匹のねずみを入れ,その行動を観察する。小部屋は図のように番号がつけられ,各小部屋からは隣の小部屋に通路があり,番号 4, 13, …

模試の過去問を解こう

1週間前に書いた 最近はこんなことやってます - 数学塾variée@吉祥寺 の続き。最近は高3の指導に模試の過去問を使っています。ちなみに,ちゃんと人数分買ってます。著作権の侵害はしていませんwS/K/Y 全部買い,一番突っ込みどころが多そうな代ゼミから始め…

昔の難問を見直してみる(1次変換)

「行列は2点の像で決まる」の問題探しをしていて,かつての難問に行き当たりました。1982年の東大理系第1問です。 行列 A = [[a, b], [c, d]] によって定まる xy 平面の1次次変換を f とする。 原点以外のある点 P が f によって P 自身にうつされるならば,…

東大の整数問題を虫食い算で

最近の授業で東大の問題を扱ったのですが,虫食い算に直すと小学生レベルの問題になることに気付いてしまいました。2005 年の文系の問題です。 3 以上 9999 以下の奇数 a で,a^2 - a が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ。 途中式の桁数を与えてしまう…

整数なら 0,非整数なら 1 の関数

最近,早稲田の問題に目を通しています。政経と理工の問題は志望者向けに残しておきたいので,その他の学部の入試問題からいい問題をピックアップしています。そこで見つけたのが,今日のタイトルの「整数なら 0,非整数なら 1」の関数です。解法によっては…

懐かしい問題であーだこーだ(灘高 & 東大,図形)

中学生の指導で2001 年の灘高の問題を扱いました。『High スタンダード演習』の 8.13 に収録されている問題です。 △ABC の辺 BC 上に BC : LC = 3 : 1 となる点 L,辺 CA 上に CM : MA = 3 : 1 となる点 M,辺 AB 上に AN : NB = 3 : 1 となる点 N をとる。…

因数分解してしまえ!(式と証明)

『基礎問題精講II/B』を使っての指導中に考えたネタ。等式の証明問題をやりました。 逆は言えるか? 問題1 a : b = b : c のとき を示せ。 a = bk^2, c=bk を代入するだけの問題で,解くのは大して難しくありませんが,商売柄「逆は言えるか?」が気になっ…

式の数と未知数の数があわないとき(方程式)

旺文社の『基礎問題精講II/B』を使っての指導中に考えたネタをご披露。受験数学の世界には「比例式は = k とおけ」という定石があります。 問題1 のとき,この式の値を求めよ。 与式を k とおいて分母をはらい,辺毎に足します。 k = 2 または a + b + c = 0…

展開前に指数に注目するべし(数と式)

多項式の展開係数を求める問題について書きます。 問題 関数 の導関数 f'(x) の 117 次の係数を求めよ。 出典は 1996 年の東京女子医大です。数学があまり得意でない受験生なら,とりあえず展開してしまいそうですが,そうすると 128 個の項が出てきて収拾つ…

有理化は展開で処理できるらしい(数と式)

有理化について書きます。元ネタは 2007 年の東京女子医大です。 問題1 (1) (a + b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) を展開せよ。 (2) 次が成り立つような整数 x, y, z の値を求めよ。 (ヒント:(1)の計算結果を使う。) (1)は展開するだけ。(2…

3乗根の2重根号をはずす(数と式)

問題 次の式をみたす正の有理数 a, b を求めよ。 ヒント: 3 乗根の 2 重根号をはずす問題について書きます。出典は 2004 年の東京女子医大。ヒントつきとはいえ難しいです。簡単のため とおいて,左辺の3乗根を P とおきます。 を使って, のルートをはずす…

2直線が交わる → 同一平面上 → 四面体の体積0(ベクトル)

2006年の京大理系前期の問題。 問題 点 O を原点とする座標空間の3点を A(0, 1, 2), B(2, 3, 0), P(5 + t, 9 + 2t, 5 + 3t) とする。線分 OP と線分 AB が交点を持つような実数 t が存在することを示せ。またそのとき,交点の座標を求めよ。 普通に解く分に…

cos を辺の長さで書き直してみると……(三角関数)

京大の過去問の別解と類題を考えました。次の問題は,2005年の文系後期のものです。 問題 角 α,β,γ が α + β + γ = π, α ≧ 0,β ≧ 0,γ ≧ 0を満たすとき, を示せ。 和積公式その他を使うのが自然ですが,「余弦定理で書き直したらどうなるのか?」と思っ…

東工大の整数問題の類題

誘導をカットしたら面白そうだなあ~と思った問題の類題をその日のうちに見つけました。もとになった問題は1984年の東工大。整数問題です。 問題1 a, b を正の整数とする。(1) とおくとき,不等式 が成り立つことを示せ。(2) が素数の整数乗になる a, b をす…

比は傾き(不等式)

不等式の証明問題についていろいろと。 問題 a_1, a_2, …, a_n および b_1, b_2, …, b_n をすべて正の実数とする。もし, ならば, が成立していることを証明せよ。 出典は1997年の東京女子医大です。見かけに惹かれて考えてみました。簡単のため, とおきま…