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数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

数学/中学入試

麻雀の総当り対戦表(算数チャレンジ 993)

あるマージャン大会が行われました。マージャンとは4人1組で行われるゲームです。この大会では,各参加者は他のすべての参加者とちょうど1回ずつ同じ組になって対戦するような試合の組み合わせになっていました。 参加者数として考えられる最小の人数は4人で…

正992角形から正多角形を作る(算数チャレンジ 992)

正992角形があります。この正992角形の992個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると,何通り作ることができるでしょうか。ただし,合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。 算数チャレンジ(http:…

正六角柱の断面(算数チャレンジ 991)

図のような底面が一辺の長さ 3 cm の正六角形で,高さが 8 cm の正六角柱 ABCDEF-GHIJKL があります。辺BH上に BP = 3 cm となる点Pをとりました。3点A, P, Jを通る平面でこの立体を切断したところ,この平面は辺CIを点Qで切断しました。このとき,QIの長さ…

角の二等分条件の使い方(算数チャレンジ 990)

図のような一辺の長さが3 cmの正方形ABCDがあります。いま,辺BCの延長上に BP=4 cm である点Pをとりました。さらに辺CDの延長上に ∠QPA = ∠BPA となる点Qをとりました。このとき,△APQの面積は何cm^2であるかを求めてください。 算数チャレンジ(http://www…

中点は格子点ではない(算数チャレンジ 989)

図のように正方形の土地の周囲および内部にア~ケの9本の杭(くい)を等間隔に打っています。この中から3本の杭を次の条件をみたすように選びます。 杭どうしをひもで結ぶと三角形ができる。 できた三角形について,どの辺の中点にも杭がない。 たとえば「ア…

角も辺も1:2(算数チャレンジ 988)

図のような辺ADと辺BCが平行で ∠ B = 90° の台形ABCDがあります。また,この台形は辺ADの長さが辺ABの長さの2倍になっています。いま,対角線ACをひいたところ,∠ ACDの 大きさが ∠ ACB の大きさの2倍になりました。このとき,∠ ADC の大きさは何度であるか…

下3桁を求める(算数チャレンジ 987)

100以下の奇数すべてをかけ算してできる数について,下3ケタを求めてください。 算数チャレンジ(http://www.sansu.org)の第987回を解きました。下3桁を求めるには 1000 = 2^3 x 5^3 を法として考えればよく,125と8で割った余りを調べれば解けます。 125 =…

平行四辺形条件から三角形の面積(算数チャレンジ 986)

算数にチャレンジ!!の第986回の問題を解きました。 図のような AE = CD の五角形ABCDE があり,対角線ACをひいたところ AC = ED となりました。また,面積について △ABP + △ECP = △PBC - △PAE が成り立っています。△PBC の面積が 12 cm^2 であるとき,△EBD…

某中学の出典がAIMEだった

高校生用の問題選びをしていたら,偶然ある中学の入試問題の元ネタを見つけました。1987年のAIME(American Invitational Mathematics Exam)の問題です。 縦19,横87の長方形の中にABと平行な線分PQを引いて面積を4等分したら,長方形の周も4等分された。PQ…

授業のウオーミングアップにパズル系の問題を

最近は授業のはじめにウオーミングアップと称してパズルっぽい問題をやるようにしています。ここ何日か使った問題はこちら。中学入試の問題ですが,出典は忘れました。 1辺の長さが1の立方体が4つある。これらの面と面とをぴったりくっつけてできる体積が4の…

n 角形を正方形と正三角形に分割(図形)

正12角形の面積を求める問題をやりました。 問題1 1辺の長さが1の正12角形の面積を求めよ。 外接円を描き,その中心と各頂点を結び……とやりたくなるところですが,実は正方形と正三角形に分割できます。三角関数は使いません。 よくこんなの思いつくものだと…