サイコロを4回振ったときの目の和のリスト /「算数にチャレンジ!!」第1209問

問題概略 サイコロを 4 回振って,1 回ごとに「それまでに出た目の数の合計」を記録用紙に書いていきます。たとえばサイコロの出目が 1 回目から順に 2, 3, 5, 1 のとき記録用紙には「2, 5, 10, 11」と記入されます。記録用紙に 2 と 4 が両方とも記入される…

上には連続しないときの最短経路数 /「算数にチャレンジ!!」第1203問

問題概略 矢印の順列 問題概略 下のような道路があります。黒線が道路です。A 地点から B 地点に以下のルールを守りながら移動することを考えます。 最短距離で進む 上方向(縦方向)に連続して進むことはできない 進む経路は何通りあるでしょうか。http://w…

カレー屋さんまでの経路数 /「算数にチャレンジ!!」第1135問

問題概略 ↑に注目 問題概略 下の図は T 都 S 区にある G 街という商店街の地図を表しています。線が道路です。G 街の入り口(左下)にいるマサルさんが,この街の右上にあるカレー屋さんに行くことにしました。マサルさんは次の 2 つのルールにしたがってカ…

小さい方から5番目の公約数と最小公倍数から元の数を求める /「算数にチャレンジ!!」第1204問

問題概略 指数に注目 条件1, 2の言い換え 条件1について 条件2について 3数の決定 問題概略 3 つの異なる整数 , , があります。この 3 つの整数は次の条件をみたします。 (条件1) と の公約数を小さい方から並べると 5 番目が 14 (条件2) と の公約数を…

3点問題と4点問題の正解数が10組 /「算数にチャレンジ!!」第1039問

問題概略 1次不定方程式を解く 問題概略 マサルさんのテストの点数は ○○ 点でした。このテストは 1 問あたり 3 点か 4 点です。マサルさんは 3 点問題も 4 点問題も 1 問以上は解けていたそうです。 この話を聞いたトモエさんは「その点数だと,3 点問題と 4…

変な約分がうまくいくケース /「算数にチャレンジ!!」第1046問

問題概略 不定方程式を解く 合同式を使う 問題概略 算数の苦手なマサルさんは分母,分子ともに 2 ケタの分数の約分を行うときに「分母の 10 の位の数と分子の 1 の位の数が同じだったとき約分してしまう」というクセがあります。 \begin{align*} \frac{ab}{b…

4277の倍数でabcdabcdの形の数の最大値 /「算数にチャレンジ!!」第1053問

問題概略 素因数分解する 問題概略 8 ケタの整数で次の条件をみたすもののうち最も大きいものを求めてください。(条件1) の形である。 (条件2)4277 の倍数である。http://www.sansu.org/used-html/index1053.html 解説の pdf も作りました。きれいなレイ…

1から8を並べる。「左よりも右が小さい」は1ヶ所だけ /「算数にチャレンジ!!」第1081問

問題概略 グループ分けして数える 各グループの最大値,最小値から数える 漸化式を作る 問題概略 次の条件をみたす 8 ケタの整数は何個あるでしょうか。 1 ~ 8 までの数字を 1 回ずつ使う。 2 つの連続したケタを選んだとき,ある。 http://www.sansu.org/u…

1/a+1/b+1/7+1/c+1/d=1 /「算数にチャレンジ!!」第1052問

問題概略 数学で解く 受験算数で解く 基本解法 意識的に変形する 問題概略 次の式がなりたつような1以上の整数 ~ を求めて,それらの和 を答えてください。 \begin{align*} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{7}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1 \end{align*}た…

aはbの倍数,a+1はb+1の倍数 /「算数にチャレンジ!!」第1045問

問題概略 とりあえず答えを出す 中身を見てみる 中国式剰余定理 問題概略 整数 , は次の条件をみたしています。このような は何組あるでしょうか。 ともに 1 以上 100 以下 は よりも大きい は の倍数 は の倍数 http://www.sansu.org/used-html/index1045.h…

pが素数ならp^4+14は素数ではない / 2021 京都大学・文系 第5問

問題 実験して合同式 合同式上の変形 問題 が素数ならば は素数でないことを示せ。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com 実験して合同式 この手の問題でよくあるパターンは「 は 3 の倍数だが 3 で…

2つの球と1つの平面で囲まれた領域の体積 / 2015 大阪大学・理系 第4問

問題 (1)について 球は円を回転したもの 不等式で与えられた立体の求積 (2)は微分して次数下げ 問題 座標空間の 軸上に動点 P, Q がある。P, Q は時刻 0 において,原点を出発する。 P は 軸の正の方向に,Q は 軸の負の方向に,ともに速さ 1 で動く。その後…

積分の不等式とはさみうちの原理 / 2015 大阪大学・理系 第1問

問題 (1)はまず置換 (2)ははさみうち 問題 自然数 に対して関数 を \begin{align*} f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)}\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\quad (x\geqq 0) \end{align*} で定める。以下の問いに答えよ。 (1) を示せ。 (2) 数列 を で定める。 のとき であ…

3以上の奇数mの約数a1, a2, …, ak / 2022 東京慈恵会医科大学 第3問

慈恵の数学第3問の解説書いた。整数問題。(1)は上からの評価式が与えられていることを利用。下からの評価式を作ると解ける。(2)はよくあるパターンで二項展開すると解ける。この問題に限ったことじゃないけど受験算数より受験数学の方が解くのも解説を書くの…

ゲームの得点 / 2022 女子学院中学 第3問

問題 全部書くと解ける 問題 図のような的に矢を 3 回射って,そのうち高い 2 回の点数の平均を最終得点とするゲームがあります。J 子,G 子,K 子がこのゲームをしたところ,次のようになりました。 的を外した人はいませんでした。 3 回のうち 2 回以上同…

3台の機械の仕事算 / 2022 女子学院中学 第6問

問題 「ある日」の作業時間 「次の日」の作業時間 比で考える 作業量に数値を割り振る 問題 A, B, C の 3 台の機械は,それぞれ常に一定の速さで作業をします。B と C の作業の速さの比は です。 ある日,A, B, C で別々に,それぞれ同じ量の作業をしました…

A以上B未満の素数の個数 / 2022 女子学院中学 第2問

問題 (1)は全部書く (2)はグループ分け 問題 , を整数として, 以上 未満の素数の個数を で表すとします。 (1) (2) となる , の組のうち と の和が最も大きくなるのは , のときです。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをど…

円周上の点と不動点の距離の最大最小 / 2022 日本医科大学 第1問

問題 直交座標形式に直す β の求め方についての補足 問題 を虚数単位とする。O を原点とする複素数平面上において,中心が O,半径が 2 の円を とする。 上の点 に対して,複素数平面上の点 を次のように定める。 \begin{align*} w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-…

4次方程式の解 / 2022 東京医科大学 第4問

問題 概要 2次方程式の解と係数の関係を使って解く 4次方程式の解と係数の関係を使ったらどうなるか 問題 四次方程式 ( は定数)の四つの解を , , , とする。 二つの解 と の積が であるとき, \begin{align*} \gamma^2\delta^2=\fbox{アイ} \end{align*} …

置換して偶関数の積分にもちこむ / 2022 東京医科大学 第1問(4)

問題 1 つ前の問題 邪魔な sin をどうにかする 分母の sin を cos^2 に変える 置換して偶関数にする 問題 である。 解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。drive.google.com これは小問集合の 1 問です。1 つ前も積分の…

時計の針が対称な位置にくる時刻 / 2022 麻布中学 第2問

問題 普通に解く うまく解く 問題 次の図 1,図 2 の時計について,以下の問いに答えなさい。(1) 2 時から 3 時までの 1 時間で,図 1 の点線と短針の間の角度が,長針によって 2 等分される時刻を答えなさい。 ただし,秒の値のみ帯分数を用いて答えること…

正六角形の辺の三等分点からできる三角形の面積 / 2022 麻布中学 第5問

問題 解答 問題 面積が の正六角形 ABCDEF があります。 この正六角形の辺 EA, BC, DE 上に, \begin{align*} \mathrm{FG:GA=BH:HC=DI:IE=2:1} \end{align*} となるような点 G, H, I をとります。 また,直線 AI と CG が交わる点を J,CG と EH が交わる点を…

自転車で競争する兄弟 / 2022 麻布中学 第4問

問題 ダイアグラムを書く 連立方程式 問題 兄と弟の 2 人が,図のような東西にのびた道で,自転車に乗って競争します。 2 人はそれぞれ一定の速さで走り,スタート地点を変えて何回か競走します。 ただし,ゴール地点は毎回変わりません。はじめに 2 回競走…

1つの数字を3個,別の数字を1個並べて4桁の数を作る / 2022 麻布中学 第3問

問題 解答 問題 次の条件に当てはまる4桁の整数を考えます。条件:1 つの数字を3個,別の数字を 1 個並べて作られる。例えば,2022 はこの条件に当てはまっています。以下の問いに答えなさい。(1) 条件に当てはまる 4 桁の整数のうち,どの桁の数字も 0 でな…

大型トラックと小型トラックの差集め算 / 2022 麻布中学 第1問

問題 差集め算 連立方程式 問題 2 つの倉庫 A, B に同じ個数の荷物が入っています。 A に入っている荷物を小型トラックで,B に入っている荷物を大型トラックで運び出します。それぞれの倉庫が空になるまで荷物を繰り返し運び出したところ,小型トラックが荷…

合計が10の倍数になったら手札を全部捨てる / 2022 麻布中学 第6問

問題 解答 問題 1 から 250 までの整数が書かれたカードが 1 枚ずつあり,これらは上から 1 のカード,2 のカード,…,250 のカードの順で積まれています。 A さん,B さん,C さん,D さんの 4 人が A→B→C→D→A→B→C→…の順番で次の作業をします。 積まれてい…

領域内における最大値と最小値 / 2022 近畿大学・医学部 第3問

問題 (1)は 1/6 公式 (2)は文字固定 最大値について 最小値について (2)で 2x-y=k のグラフを考える 最大値について 最小値について 問題 とし,, とする。 (1) と で囲まれた図形の面積が 9 となるような定数 の値を求めよ。 (2) , が 2 つの不等式 , をみ…

感染症の感染者数の数列 / 2022 近畿大学・医学部 第2問

問題 (1)を通じて設定を理解する (2)(3)は漸化式がちがうだけ (2)について (3)について wikipediaを見てみる 問題 ある地域で発生した感染症A について,次の感染モデルを考える。感染症 A は,1 日に感染者 1 人から他者 1 人に感染する。 以下では,感染症…

三角形の外心と内分比 / 2022 近畿大学・医学部 第1問

問題 解答 座標計算など 問題 鋭角三角形 ABC があり,, であるとする。 点 A から辺 BC に下ろした垂線と BC との交点を D とおき,点 D が辺 BC を に内分するときについて考える。(1) , である。(2) 点 C から辺 AB に下ろした垂線と AB との交点を E …

角の条件が与えられた図形の面積と体積 / 2022 杏林大学 第3問

問題 (1)について (2)について 問題 ~ ,および ~ の解答を該当する解答群から最も適当なものを一つずつ選べ。(1) 座標平面上の 3 点 , , C を頂点とする三角形について考える。 点 C の 座標は正であり,原点を O として,以下の問いに答えよ。(a) をみた…