数学塾variée@吉祥寺

数学塾の中の人の日記

2014新潟大学/確率

2014年の新潟大学の確率の問題について書きます。普通に数えても解けますが,20 と 30 が 2, 5, 10 の倍数であることを使うと楽に解けます。 A の箱には 1 から 20 までの整数が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードが入っている。B の箱には 1 から 30 までの整…

2017杏林大学/問題3(2)

今日の授業で使った問題について書きます。2017杏林大学医学部・問題3(2)の一部です。 正の実数 x に対して,下記極限で定義される関数を f(x) とする。x>0 の範囲で y=f(x) のグラフが直線 y=ax+b と共有点をもたない条件を求めよ。 f(x) の求め方 まずは f…

2014防衛医大/択一/問題5

防衛医大の過去問を見ていて,ちょっと無茶な問題を見つけました。2014年の択一の第5問です。 整数 (201)^8 の上 3 桁の数字の並びは以下のどれか。(1) 269 (2) 268 (3) 267 (4) 266 (5) 上の4つの答えはどれも正しくない 防衛医大の択一は英数国あわせて 90…

既習範囲の復習に数検対策の本を使いました

「復習のきっかけになれば」と思い,夏休み中の授業で数検の過去問集を使ってみました。使った本はこちら。近所の書店の在庫状況にあわせて2冊を使いわけました。実用数学技能検定過去問題集 数学検定3級作者: 日本数学検定協会出版社/メーカー: 日本数学検…

『数学受験術指南』(森毅)

森毅さんの『数学受験術指南』を読みました。数学受験術指南 (中公新書 (607))作者: 森毅出版社/メーカー: 中央公論新社発売日: 1981/03メディア: 新書購入: 1人 クリック: 15回この商品を含むブログ (8件) を見るこの本はタイトルこそ「受験術」「指南」で…

電話帳と重問,新演習

ここ最近,受験生指導のメイン教材として使っている『全国大学入試問題正解』について書きます。これはある年の入試問題を数十校分集めた本で,いわゆる「電話帳」です。ちょっと前までは教材作成の資料としてしか使っていなかったのですが,浪人生の指導に…

Mathematicaのブログはじめました

3ヵ月も放置してしまってなんですが,最近,Mathematica についてのブログをはじめました。variee.hatenadiary.comProject Euler というサイトの問題に Mathematica で挑戦しています。 Mathematica は組み込み関数がものすごく充実していて,普通のプログラ…

2016年をふりかえる

大晦日なので,2016年を振り返ってみたいと思います。 C型肝炎が治った 個人的に一番大きかったことはC型肝炎が治ったことです。前にも書いたような気もしますが,3回目の治療でした。1回目,2回目に使ったインターフェロンのような副作用もなく,あっさり治…

「ひとつひとつわかりやすく」シリーズを読んでみた

学研の「ひとつひとつわかりやすく」シリーズから「中1理科」「中2理科」「中3理科」「公民」を読んでみました。これははじめて勉強する人や苦手な人向けの易しい参考書です。今回読んだ理科・社会のテストでいい点をとるにはたくさん問題を解かないとい…

地元の大学の問題を見てみたら

旺文社の『全国大学入試問題正解』(通称「電話帳」)をパラパラやっていたら,地元の弘前大学の問題が目に入りました。医学部の問題がわずか3問しかなく,しかも超易しいことに驚きました。 第1問 (1) 関数 のグラフの概形をかけ。 (2) 定積分 を求めよ。 (…

麻雀の総当り対戦表(算数チャレンジ 993)

あるマージャン大会が行われました。マージャンとは4人1組で行われるゲームです。この大会では,各参加者は他のすべての参加者とちょうど1回ずつ同じ組になって対戦するような試合の組み合わせになっていました。 参加者数として考えられる最小の人数は4人で…

高校入試 1対1の図形演習・数式演習

東京出版の『高校入試 1対1の図形演習』と『高校入試 1対1の数式演習』を買いました。有名な『1対1対応の演習』シリーズ(高校生用)の中学数学版の参考書です。紙面構成は高校生用と同じ。最初に「要点のまとめ」が2ページあり,その後は1ページに例題とそ…

正992角形から正多角形を作る(算数チャレンジ 992)

正992角形があります。この正992角形の992個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると,何通り作ることができるでしょうか。ただし,合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。 算数チャレンジ(http:…

最小のWolstenholme素数だそうだが(2016 香港TST)

がすべて素数となるような自然数 n をすべて求めよ。 2016年の香港のTSTの問題です。まずは実験して素数の出現パターンをつかみます。試験場では手計算せざるをえませんが,個人的に解く分にはMathematicaなどの数式処理ソフトを使って気軽に楽しめます。Mat…

分母はコーシー・シュワルツで処理(2016 インド 地方大会)

a, b, c は正の実数であり, をみたしている。 を証明せよ。 2016年のインドの地方大会(IMO選抜の1次試験)の問題です。分母をはらうと収拾がつかなくなるので,コーシー・シュワルツの不等式を使います。 n = 2 の場合でいうと,次のようにして分母を処理…

約数は高々15個(2011 アルゼンチンTST)

の約数の個数が高々15個であるような自然数 をすべて求めよ。 2011年のアルゼンチンのTSTの問題です。素因数分解して考えます。15にはちゃんとした意味があります。 が相異なる4つの素数で割りきれるとき,約数の個数は15を越えてしまいます。よって を割り…

積の和が12k+1になる素数(2016 イベロアメリカン)

pq + qr + rp = 12k + 1 をみたす素数 p, q, r, k をすべて求めよ。 2016年のイベロアメリカンの問題です。12 = 2^2 x 3 に注目して mod 2 や mod 3 で考えるのがスジでしょう。「平方数を3で割った余りは0か1」を使うと p, q, r の中に3が1つだけあることが…

正六角柱の断面(算数チャレンジ 991)

図のような底面が一辺の長さ 3 cm の正六角形で,高さが 8 cm の正六角柱 ABCDEF-GHIJKL があります。辺BH上に BP = 3 cm となる点Pをとりました。3点A, P, Jを通る平面でこの立体を切断したところ,この平面は辺CIを点Qで切断しました。このとき,QIの長さ…

3つの数の積の和の剰余(2013 インドネシア)

pを3より大きい素数とし, とする。S + 1 はpで割りきれることを証明せよ。 2013年のインドネシアの問題です。 見た目は簡単そうですが,何も工夫せずに解いたところ計算が大変でした。Sの計算法は2つ考えられます。 を利用する。 愚直に計算する。 両方やっ…

完全平方式で4次式を評価(2016 クロアチアTST)

次の方程式をみたす素数 (p, q) をすべて求めよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。与式は px = qy の形なので とおきます。どの文字を消去するかで悩むところですが,qを消去するのが一番楽なようです。pとkの2次方程式になります。判別式 が平方数にな…

相加相乗の係数を調整する(2016 クロアチアTST)

n は自然数であり, x1, x2, …, xn はすべて0以上であるとする。次の不等式が成立することを証明せよ。 2016年のクロアチアのTSTの問題です。左辺に相加平均・相乗平均の関係を使います。素直に(?)使うと,最終的に次の不等式を示すことになりますが,こ…

敵は3人ずつ(2017 香港TST)

n人の委員からなる委員会がある。どの2人の委員も友好関係または敵対関係にあり,どの委員もちょうど3人ずつと敵対関係にある。また,友人の敵は敵である。nとして考えられる値をすべて求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。見るからにグラフ理論の…

対数の和の最小値(2013 インド統計大学)

a, b, c は1より大きい実数である。 の最小値を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。底をそろえて log_{10} a = p (>0) のようにおきます。S はきれいな形になって相加相乗が使えます。くわしいことはpdfを見てください。解いてみた029.pdf - Go…

1,2,3,4を2016個並べた数列(2017 香港TST)

1, 2, 3, 4を全部で2016個並べた数列を考える。1を偶数個含むものは何個あるか。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。答えは 4^(2016) 個の約半分ですが,ちょうど半分ではなく,そのずれを求めるには計算せざるをえません。漸化式を立てるか,二項定理を使…

角の二等分条件の使い方(算数チャレンジ 990)

図のような一辺の長さが3 cmの正方形ABCDがあります。いま,辺BCの延長上に BP=4 cm である点Pをとりました。さらに辺CDの延長上に ∠QPA = ∠BPA となる点Qをとりました。このとき,△APQの面積は何cm^2であるかを求めてください。 算数チャレンジ(http://www…

逆数の和の評価/log 2の評価(2017 香港TST)

の小数点以下にはじめてあらわれる0以外の数字を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。この和は計算できないので,様々な方法で上下から評価することになります。与式を A とおきます。 最大値,最小値で評価すると 積分で評価すると 凸不等式で評価…

ヘルダーの不等式をどう導くか/使うか(2017 香港TST)

3次関数 f(x) の3次の係数は1であり, f(0) = -64 である。f(x) = 0 の解はすべて0以上であるとき,f(-1) の最大値を求めよ。 2017年(?)の香港のTSTの問題です。f(x) = 0 の解を α, β, γ とおくと f(-1) は α, β, γ の対称式になります。基本対称式であら…

並べ替えてトレミーの定理(2013 インド統計大学)

ADは半径 r の円の直径である。点B, Cは同じ弧AD上にあり,AB = BC = r/2, A ≠ C をみたしている。CD/r を求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。図を描いてみると余弦定理で解けることがわかります。これが一番自然な解法でしょう。また,三角形…

離れた2数の積が平方数になる条件(2013 インド統計大学)

N (N - 101) が自然数の2乗になるような自然数 N をすべて求めよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。2次式が平方数になるので =k^2 とおいて (平方数の差) = (一定) から (積) = (一定) の形の方程式を導くのがスジでしょう。また,ユークリッドの互…

不等式から関数決定(2013 インド統計大学)

実数から実数への関数 f は次の不等式をみたす。 \[|\, f(x+y)-f(x-y)-y\, |\leqq y^2\](cは定数)であることを証明せよ。 2013年のインド統計大学の入試問題です。答えが与えられていることをいかして,はじめは とおいて解きましたが,ヒントの有無は本質…