2017-10-27

2014防衛医大/択一/問題5

大学入試（日本）防衛医科大学校

防衛医大の過去問を見ていて，ちょっと無茶な問題を見つけました。2014 年の択一の第 5 問です。

整数 $(201)^8$ の上 3 桁の数字の並びは以下のどれか。
(1)　269
(2)　268
(3)　267
(4)　266
(5)　上の4つの答えはどれも正しくない

防衛医大の択一は英数国あわせて 90 分で，数学は 15 問あります。単純計算で 1 問にかけられる時間はたったの 2 分。それでこの問題を解けというのはちょっと無理だと思います。

私なら，答えだけでよいことをいかして 1 次近似で粗く解きます。

$201^8 =(200+1)^8=\left\{200\left(1+\dfrac{1}{200}\right)\right\}^8$

$\fallingdotseq 200^8\left(1+\dfrac{8}{200}\right)=2662400000000000000$

上 3 桁は 266 なので，答えは(4)です。

記述式の試験ならアウトな解法ですが，制限時間の厳しい択一試験ではこれで十分かなと思います。

ちなみに $201^8= 2664210032449121601$ です。1 次近似がかなりいい近似になっています。

variee.hatenablog.com

2016-10-20

正992角形から正多角形を作る /「算数にチャレンジ!!」第992問

算数にチャレンジ!!

問題概略
が約数ならも約数
約数の総和から引く

問題概略

正 992 角形があります。この正 992 角形の 992 個の頂点からいくつかを選んで正多角形を作ることにすると，何通り作ることができるでしょうか。
ただし，合同な正多角形であっても異なる頂点を選んでできたものは別々に数えるものとします。

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com

$d$ が約数なら $\frac{n}{d}$ も約数

正 $n$ 角形は $\frac{992}{n}$ 個作れるので，992 の 3 以上の約数の集合を $A$ として
$\sum_{n\in A} \frac{992}{n}$ が答えです。

これをまともに計算するのは大変ですが， $\frac{992}{n}$ 自身も 992 の約数であることを使うと楽に計算できます。

$992=2^5\cdot 31$ の約数は 1, 2, 4, 8, 16, 31, 32, 62, 124, 248, 496, 992。

たとえば正 4 角形は $\frac{992}{4}=248$ 個できます。他も同様なので，求める個数は次のようになります。

$992\times\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248}+\frac{1}{496}+\frac{1}{992}\right)=\text{528個}$

約数の総和から引く

上の計算式において $\frac{992}{4}=248$ などはすべて 992 の約数です。
ということは，992 の約数の総和から $\frac{992}{1}+\frac{992}{2}=1488$ を引いたものが答えです。

$(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+31)-1488=(2^6-1)\cdot 32-1488=\text{528個}$

variee.hatenablog.com

2016-10-10

敵は3人ずつ，友人の敵は敵（2017 香港TST）

数オリ

問題概略
実験前の準備
小さな n で実験

問題概略

$n$ 人の委員からなる委員会がある。どの 2 人の委員も友好関係または敵対関係にあり，どの委員もちょうど 3 人ずつと敵対関係にある。また，友人の敵は敵である。 $n$ として考えられる値をすべて求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1294021p6857837

解説の pdf も作りました。きれいなレイアウトで読みたい方はこちらをどうぞ。

drive.google.com